求两个数的最大公约数,Euclid算法证明,以及C语言代码实现

题目:

题目链接https://akaedu.github.io/book/ch05s03.html 下边练习题.

1、编写递归函数求两个正整数a和b的最大公约数（GCD，Greatest Common Divisor），使用Euclid算法：

• 如果a除以b能整除，则最大公约数是b。

• 否则，最大公约数等于b和a%b的最大公约数。

Euclid算法是很容易证明的，请读者自己证明一下为什么这么算就能算出最大公约数。最后，修改你的程序使之适用于所有整数，而不仅仅是正整数

先证明一下:

为便于理解,这里默认a和b都是正整数的情况,且a大于等于b.

如果a除以b能整除，则最大公约数是b. 这个很好理解,能把b整除的最大约数是b,b又能整除a,因此a和b的最大公约数是b.

设j是a和b的最大公约数,k是b和a%b的最大公约数;					..........①



因为j是a和b的最大公约数,所以存在正整数x1和y1使a=x1*j, b=y1*j成立;

如果b不能整除a,则存在正整数p使a=p*b+a%b成立;

a%b=a-p*b=x1*j-p*y1*j=(x1-p*y1)*j;

所以j是a%b的约数;因为j是b的约数,所以j是b和a%b的公约数;

因为k是b和a%b的最大公约数,j是b和a%b的公约数,所以k大于等于j;	..........②




k是b和a%b的最大公约数,所以存在正整数x2和y2使b=x2*k,a%b=y2*k成立;

a=p*b+a%b=p*x2*k+y2*k=(p*x2+y2)*k;

所以k是a的约数;因为k是b的约数,所以k是a和b的公约数;

因为j是a和b的最大公约数,所以j大于等于k;						..........③



因为k大于等于j,j大于等于k,所以j和k相等;

即:a和b的最大公约数就是b和a%b的最大公约数.					..........④

代码验证如下:

#include <stdio.h>
#include <math.h>


int gcd(int a,int b)
{
	/*
	如果a和b中有负数,先用fabs函数得到a和b的绝对值再算最大公约数;
	*/
	a = fabs(a);
	b = fabs(b);
	
	/*
	另外,要让gcd函数的第一个参数的绝对值比第二个参数的绝对值大;
	*/
	if (a < b){
		int temp;
		temp = a;
		a = b;
		b = temp;
	}
	if (a%b == 0)
		return b;
	else
		return gcd(b,a%b);		
}


int main(void)
{
	printf("gcd:%d\n",gcd(60,24));
	printf("gcd:%d\n",gcd(60,-24));
	printf("gcd:%d\n",gcd(-60,24));
	printf("gcd:%d\n",gcd(-60,-24));
	printf("gcd:%d\n",gcd(24,60));
	printf("gcd:%d\n",gcd(-24,60));
	printf("gcd:%d\n",gcd(24,-60));
	printf("gcd:%d\n",gcd(-24,-60));

	return 0;
}

标签：24,a%,gcd,C语言,60,最大公约数,printf,Euclid
来源： https://blog.csdn.net/blackeagleoht/article/details/117622576