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序列的极限

现在我们来用真正的、关于实数序列的极限来代替形式极限，这将是我们构造实数系的最后一步。 6.1 收敛及极限的算律我们将重述第四章和第五章中提到的概念，但这些概念将由对有理数定义转为对实数定义。定义 6.1.1（距离）：定义两个实数 $x$ 和 $y$ 的距离为 $|x-y|$，记作 \(d(x,y)

实数

回顾一下，我们已经严格地构造了三个基本的数系：自然数系 $\mathbb N$、整数系 $\mathbb Z$ 和有理数系 $\mathbb Q$。这些数已经足够用来做大量的数学事项。但是这还是不够用的，例如在微积分学、三角学甚至几何学中。所以人们需要用实数系来取代有理数系。实数无法用有理数来

微积分偷卷笔记

1.考虑用无穷序列的趋近表达实数 1.1 趋近于 $\bf 0$ 比如，$\dfrac 11,\dfrac 12,\dfrac 13,\dots \to 0$（图为 $y=\dfrac 1{\lfloor 20x\rfloor}$）这个序列趋近 $0$，我们应该给一个定义了。有时候我们会说这个序列的最后一项是无穷小量 $\boldsymbol \varepsilon$，他小于

高等数学学习笔记

1.证明数列极限思路：$|x_n-a|<\varepsilon$变形为$n>m$，然后因为$\varepsilon$是确定的实数，所以$m$确定，并且有无穷多个大于$m$的正整数$N$，任取一个大于$m$的$N$，都有$|x_n-a|<\varepsilon$成立，符合数列极限的定义。

大学物理（1）公式列陈

第一章-质点运动学质点运动的描述运动方程一般为$\,\vec r=t(\vec v,\vec a)\,$,形如 \[\vec r=\vec v_0t+\frac 12\vec gt^2 \]轨迹方程一般为$\,y=f(x)\,$,形如 \[y=xtan\,\alpha-\frac{g}{2{v_0}^2cos^2\,\alpha}x^2 \]圆周运动 \[\vec a=\frac {{\rm d}\vec v}{{\rm d}t

静电场学习笔记（公式）

点电荷电荷量子化（元电荷） $e=1.602\times10^{-19}C$ 库仑定律真空中两个相距为$\vec r$点电荷之间的相互作用力： $\vec F =\frac{1}{4\pi{\varepsilon}_0}\frac{q_1q_2}{r^2}\vec{e_r}$ ${\varepsilon}_0=8.85\times10^{-12}C^2\cdot N^{-1}\cdot m^{-2}$（真空介电常数）场强场强是

我理解的高等代数3——线性变换

3我理解的高等代数3——线性变换线性变换第一节我们介绍了线性空间，他就是一个方格纸。第二节我们介绍了坐标系变换中，基变换和坐标之间的关系。接下来让我们考虑在坐标系变换中的变换本身这个东西。让我们继续回到我们熟悉的情形，让我们重新描述这个过程。通过一个变换或者说

最小二乘法——高斯-马尔可夫定理的证明，无偏估计、求系数的方差

CS229：Learning Theory 1

Learning Theory Assumption data in training set and test set are from the same distribution all samples are sampled independently Learning Algorithm is deterministic function, while output parameter is a random variable(sampling distribution), but there

误差序列实验——《数值计算方法》

《数值计算方法》系列总目录第一章误差序列实验第二章非线性方程f(x)=0求根的数值方法第三章 CAD模型旋转和AX=B的数值方法第四章插值与多项式逼近的数值计算方法第五章曲线拟合的数值方法第六章数值微分计算方法第七章数值积分计算方法第八章数值优化方法

BUAA_概率统计_Chap06_大数定律和中心极限定理

第六章大数定律和中心极限定理 6.1 大数定律 6.1.1 马尔可夫不等式设随机变量 $X$ 存在 $E|X|^k$，$k>0$，则对任意 $\varepsilon>0$，成立： \[P\{|X|\geq \varepsilon\}\leq \dfrac{E|X|^k}{\varepsilon^k}\quad k>0\\ P\{|X-EX|\geq \varepsilon\}\leq \dfrac{E|X-EX|^k

无监督-DEEP GRAPH INFOMAX

无监督-DEEP GRAPH INFOMAX 标签：图神经网络、无监督动机在真实世界中，图的标签是较少的，而现在图神经的高性能主要依赖于有标签的真是数据集在无监督中，随机游走牺牲了图结构信息和强调的是邻域信息，并且性能高度依赖于超参数的选择贡献在无监督学习上，首次结合互信息提出了一

实变函数复习——可测函数

几乎处处收敛与近一致收敛 Egoroff定理几乎处处收敛 $\Rightarrow$ 近一致收敛设 $f(x),f_1(x),f_2(x),\cdots,f_k(x),\cdots$是在 $E$ 上 $a.e.$ 有限的可测函数，且 $mE<\infty$. 若$f_k(x)\rightarrow f(x),a.e. x\in E$，则存在$E$的可测子集\(E_\delta:mE_\de

主定理

使用主定理求解递归式主定理是分治算法分析中非常重要的定理。如，我们要处理一个规模为 $n$ 的问题通过分治，得到 $a$ 个规模为 $\dfrac{n}{b}$ 的问题，分解子问题和合并子问题的时间是 $f(n)$：$T(n) = aT(\frac{n}{b})+f(n)$。在上面这个式子里，我们得要求 \(a \geqslan

[原创]什么是光的透过率？为什么透过的光的能量与电场强度的平方而不是一次方或者三次方有关？

本文参考Optics这本书的 4.6 The Electromagnetic Approach小节及其截图。不要被英语吓到，他们只不过是另一种描述问题的方式，无论是英语日语西班牙语，所描述的事情的本质是同一个，所描述的自然界的规律是同一个。但他们描述的过程是按照国外文化的习惯和思考问题的方式去描述的，

内生性问题—工具变量法

文章目录 @[toc]1 什么是内生性2 内生性的来源2.1遗漏变量偏差2.2 联立方程偏差2.3 解释变量测量误差2.4 选择偏差2.5 双向因果关系2.6 模型设定偏误2.7 动态面板偏差 3 工具变量3.1工具变量的思想3.2 两阶段最小二乘法3.3 Wald估计量 4 矩估计5 二阶段最小二乘法5.1 阶条

Bag of Tricks for Image Classification with Convolutional Neural Networks笔记

以下内容摘自《Bag of Tricks for Image Classification with Convolutional Neural Networks》。 1 高效训练 1.1 大batch训练当我们有一定资源后，当然希望能充分利用起来，所以通常会增加batch size来达到加速训练的效果。但是，有不少实验结果表明增大batch size可能降低收敛率，所

几乎必然收敛的含义

1 几乎必然收敛的概念几乎必然收敛（almost sure convergence），又叫以概率1收敛（convergence with probability 1），定义为：随机变量序列$\{X_n\}$满足 \[\mathbf{P}(\lim_{n\to \infty} X_n\to X)=1 \]则$X_n\xrightarrow{\text{a. s. }}X$。它的等价条件有很多，比如： \[\mathbf{P}(\l

计量笔记(二) | OLS估计量性质

上文中《计量笔记(一) | OLS估计量推导》我们通过基本公式和矩阵形式两种方式推导出了OLS估计量的表达式，那么OLS估计量有什么优良性质呢？在线性模型的经典假设的前提下，OLS估计量有优良的性质，即高斯-马尔可夫定理经典假设 1、零均值假定假定随机干扰项

【人工智能学习笔记】 1.1数学分析(一) -3.实数系的连续性与数列极限

声明：部分内容来自于慕课，公开课等的课件，仅供学习使用。如有问题，请联系删除。部分内容来自电子科技大学，北京大学，清华大学，北航，复旦大学等的教材和课件实数系的连续性 1. 封闭封闭的概念: 若有一个集合中的任意两个元素进行了某种运算后，所得的结果仍属于这个集合，我们

期末复习--实用回归分析

期末复习--实用回归分析 \[y=\left[\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{cccc} 1 & x_{11} & \cdots & x_{1 p} \\ 1 & x_{21} & \cdots & x_{2 p} \\ \vdots & \vdots &

数学-数值分析1-内容简介

数值分析1-内容简介知识框架基础概念误差基础概念误差估计范数谱基础矩阵矩阵的变换与计算常微分方程数值积分与微分数据的插值与拟合线性方程组与非线性方程组知识框架基础概念误差基础概念分类: 模型误差, 观测误差, 舍入误差, 截断/方法误差 (1) 模型误差：实际

陈恕行《现代偏微分方程导论》第一章习题参考答案

可能有错误, 如果发现请在评论区指出. 第一节 1. 证明$C_c^\infty( {\mathbb{ R } }^n)$在$L^p({ \mathbb{ R } }^n)$和$C^0(\mathbb{R}^n)$中稠密. 证明. 先证明$L^p$的情形, 设$u\in L^p$. 对任何$\varepsilon>0$, 取$R$充分大, 使得\(\|u\|_{L^p(B_R(0)^c)}<\va

完备性定理之间的等价证明

确界存在 $\Rightarrow$ 有限覆盖 $[a, b]$ 被 $\{I_\lambda\}$ 覆盖，对于 $\forall S \subset \{I_\lambda\}$ 使得 $S$ 有限，覆盖 $a$ （这样的 $S$ 总能找到）定义 $B = \{y \in [a, b] ~|~ [a, y] 被有限 S \subset I_\lambda 覆盖\}$ $B$ 有界，故有上确界。下证

Dirichlet 卷积学习笔记

Dirichlet 卷积学习笔记最近水痘在家休息，闲得蛋疼学习了莫比乌斯反演，所以顺便自学一下 Dirichlet 卷积，方便做题。定义定义数论函数 $f,g$，则他们的 Dirichlet 卷积为 \[(f*g)(x)=\sum\limits_{d\mid x} f(d)\cdot g(\frac{x}{d}) \]同样， \[(f*g)(x)=\sum\limits_{d\mid x} f