主定理
作者:互联网
使用主定理求解递归式
主定理是分治算法分析中非常重要的定理。
如,我们要处理一个 规模为 \(n\) 的问题通过分治,得到 \(a\) 个规模为 \(\dfrac{n}{b}\) 的问题,分解子问题和合并子问题的时间是 \(f(n)\):\(T(n) = aT(\frac{n}{b})+f(n)\)。
在上面这个式子里,我们得要求 \(a \geqslant 1, b> 1\)(如果 \(b=1\) 时,递推无意义),\(f(n)\) 是渐进意义上的正数。
回顾一下,\(a\) 和 \(b\) 的含义:
- \(a\) 个子问题,即 \(a\) 是原问题分为子问题的个数;
- 每个子问题的规模是 \(\dfrac{n}{b}\);
- 分治算法共三部分,分治合,而 \(f(n)\) 就是分 + 合的时间。\(\left \lfloor \frac{n}{b} \right \rfloor\) 和 \(\left \lceil \frac{n}{b} \right \rceil\) ,向下取整和向上取整的细节,并不会影响主定理的推导,具体的数学证明,略。
而后呢,根据上面的式子我们会得到三种情况:
- 若有实数大于零 \((\varepsilon >0),f(n)=O(n^{\log_{b}a-\varepsilon})\),则 \(T(n)=\Theta (n^{\log_{b}a})\);
- 若 \(f(n)=\Theta (n^{\log_{b}a})\),则 \(T(n)=\Theta (n^{\log_{b}a}\log_n)\);
- 若有实数大于零 (\(\varepsilon >0)\)\(f(n)=\Omega (n^{\log_{b}a+\varepsilon })\),使得较大的 \(n\),满足 \(af(\frac{n}{b})\leqslant cf(n)\),这时候则 \(T(n) = \Theta (f(n))\)。
这三种情况看起来很复杂,搞清楚他们之间的关系,快速记忆就简单了。
对于三种情况的每一种,我们将函数 \(f(n)\) 与 \(n^{\log_{b}a}\) 比较,俩个函数较大者将决定递归式的解。
-
若函数 \(n^{\log_{b}a}\) 更大,如情况 \(1\),则解是 \(T(n)=\Theta (n^{log_{b}a})\);注意 \(f(n)\) 小于 \(n^{\log_{b}a}\) 是渐进意义上的,要差一个因子量级 \(n^{\varepsilon }(\varepsilon >0)\)。
-
若函数 \(f(n)\) 更大,如情况 \(3\),则解是 \(T(n) = \Theta (f(n))\);注意 \(f(n)\) 大于 \(n^{\log_{b}a}\) 是渐进意义上的,要差一个因子量级 \(n^{\varepsilon }(\varepsilon >0)\),还要满足 \(af(\frac{n}{b})\leqslant cf(n)\);
-
若俩个函数相等,如情况 \(2\),则乘上一个对数因子,解为 \(T(n)=\Theta (n^{\log_{b}a}~\log_n)\);
-
上面的三种情况并未覆盖 \(f(n)\) 的所有可能性,情况 \(1\)、情况 \(2\) 之间存在间隙,\(f(n)\) 可能小于 \(n^{\log_{b}a}\) 但不是多项式意义上的小于;情况 \(2\)、情况 \(3\) 之间也存在间隙,\(f(n)\) 可能大于\(n^{log_{b}a}\) 但不是多项式意义上的大于;若函数 \(f(n)\) 在这俩个间隙中,或者是情况 \(3\) 中要求的 \(af(\frac{n}{b})\leqslant cf(n)\) 条件不成立,就不能使用主方法来解决递归式。
首先,得明白一个基准函数:\(\Theta (n^{log_{b}a})\)。
有了基础函数之后,就可以根据 TA 来判定情形之间的关系。
那我们该如何记忆这个基准函数呢 ??
原来的函数是:\(aT(\frac{n}{b})+f(n)\) 为底数,如果化为对数形式也是以 \(b\) 为底 \((\log_{b}a)\);
原函数是一个多项式,\(a\) 和 \(b\) 都是常数,算出来肯定也是一个具体的数值。
所以,我们要记这样一个基准多项式(基准函数):\(\Theta (n^{?})\),次方(即 \(?\))是取对数的。
接下来,是以上三种情况的判定:
- \(f(n)\) 是弱于基准的,\(O(n^{\log_{b}a-\varepsilon })<\Theta (n^{\log_{b}a})\);
- \(f(n)\) 是等于基准的,\(\Theta (n^{\log_{b}a})=\Theta (n^{\log_{b}a})\);
- \(f(n)\) 是强于基准的,\(\Omega (n^{\log_{b}a+\varepsilon })>\Theta (n^{\log_{b}a})\)。
例子
算例 \(1\):\(T(n)=4T(\frac{n}{4})+\Theta (1)\)(乐高铺积木)
分析,\(a = b =4\),基准函数是 \(\Theta (n^{\log_{4}4})\),因为 \(\log_{4}4=1\),所以基准函数是 \(\Theta (n)\)。
又因为 \(f(n) = \Theta (1)\) 比基准函数 \(\Theta (n)\) 要弱,我们取一个实数 \((\varepsilon=1)\),即 \(\Theta (1)=O(n^{1-\frac{1}{2}}) = O(\sqrt{n})\)。
得到 \(T(n)=\Theta (n )\)。
算例 \(2\):\(T(n)=T(\frac{n}{2})+\Theta (1)\)(二分查找)
分析,\(a = 1, b=2\),基准函数是 \(\Theta (n^{log_{2}1})\),因为 \(\log_{2}1=0\),所以基准函数是 \(\Theta (1)\)。
又因为 \(f(n)=\Theta(1)\),基准函数也是 \(\Theta(1)\) ,\(f(n)\) = 基准函数,再乘上一个 \(\log n\),即 \(T(n)=\Theta(\log n)\)。
算例3:\(T(n)=2T(\dfrac{n}{2})+\Theta(n)\) (归并排序)
分析,\(a=b=2\),基准函数是 \(\Theta (n^{\log_{2}2})\),因为 \(\log_{2}2=1\),所以基准函数是 \(\Theta (n)\)。
又因为 \(f(n)=\Theta (n)\),基准函数也是 \(\Theta (n)\),\(f(n)=\) 基准函数,最后 \(T(n)=\Theta (n~logn)\)。
标签:varepsilon,frac,log,定理,Theta,基准,函数 来源: https://www.cnblogs.com/Sam2007/p/15203552.html