FWT

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8.10

ABC232G 题意：给定$n$个点和两个序列$A,B$和模数$m$ 从$i$号点走到$j$号点的代价是$(A_i+B_j)\%m$ 问从$1$走到$n$号点的最小代价是多少 $n\leq 2*10^5,m\leq 10^9,0\leq A_i,B_i<m$ 题解：连边点$i\rightarrow m-A_i，B_i\rightarrow i$边权为$0$ 然后对每个

位运算卷积与快速沃尔什变换

我们要快速计算一类形如 \[c_i=\sum_{j\oplus k=i} a_jb_k \]的问题，其中 $\oplus$ 是 $\operatorname{bitand},\operatorname{bitor},\operatorname{xor}$ 之一。 And 卷积 / Or 卷积对于下标范围是 $[0,2^n-1]$ 的数列 $a$，设 \[\mathrm{FMT}(a)_i=\sum_{j\operatorname{

【luogu P3175】按位或（min-max容斥）（高维前缀和 / FWT）

按位或题目链接：luogu P3175 题目大意有一个数 0 你一开始，然后每次你可以与上一个数 0~2^n-1 中的，每个数有它被你选择的概率。然后问你期望要弄多少次才能使得这个数变成 2^n-1。思路首先这个弄成 $2^n-1$ 显然不好弄，我们考虑一个神奇的东西，就是 min-max 容斥。因为这个 \(

2022.6.28

SP26017 GCDMAT - GCD OF MATRIX 比较傻逼的题目，显然答案等于 \[\large sum_{d=1}^n \varphi_d \times \lfloor \frac n d \rfloor \times \lfloor \frac m d \rfloor \]容斥+整除分块即可。 SP26045 GCDMAT2 - GCD OF MATRIX (hard) 和上题相同，不过数据范围变大了，要卡常(

FWT

简介大概是解决形如要求 $c_i=\sum_{j\bigoplus k=i} A_jB_k$ 这个符号可以是或，与，异或整个的流程和 FFT 很像，先正变换成 $FWT(A),FWT(B)$ ，然后将两者相乘，最后再逆变换具体的证明和定义和一些繁杂的过程这里就不说了，直接上结论因为我们是形如 FFT 的分治运算，所

【luogu CF1119H】Triple（FWT）

Triple 题目链接：luogu CF1119H 题目大意给你 n 个数组，每个数组有 n 个数，其中有 x 个 ai，y 个 bi，z 个 ci。 x,y,z 是每个数组都一样，而 ai,bi,ci 每个数组不一样。然后问你对于每个 i，从每个数组中选一个数，它们的异或和是 i 的情况有多少种。思路考虑弄一个类似每个数组的生成函数

UOJ#310-[UNR #2]黎明前的巧克力【FWT】

1# 正题题目链接:https://uoj.ac/problem/310 题目大意给出一个长度为$n$的序列，求有多少种方案找出两个集合$S,T$使得这两个集合的异或和相等。 $1\leq n\leq 10^6$ 解题思路可以转换为找到一个异或和为$0$的集合$S$，产生$2^{|S|}$的方案数。然后考虑$FWT$，那么

康托展开

https://www.luogu.com.cn/problem/P5367 给定一个全排列，求出它是 1 ~ $n$ 所有全排列的第几个，答案对 998244353 取模。答案就是 $\sum_{i = 1}^{n} res_{a_i} (n - i)!$。$res_x$ 表示剩下的比 $x$ 小的数字的数量，通过树状数组处理。代码： #include <bits/stdc++.h> usi

FWT 学习笔记

快速沃尔什变换（FWT）学习笔记 What 这是啥呀 $~~~~$ 快速沃尔什变换也用于解决一些卷积问题，所不同的是它解决的卷积的下标一般由位运算代替加法，因此也可以用集合卷积来表示其所能解决的问题。 $~~~~$ 才疏学浅，理解不深，仅能至此。 How 怎么做 $~~~~$ 显然暴力卷积复杂度会飞天，

省选模拟赛（V）

冲刺国赛5月2日第二场 $t1$ 沉迷前缀和无法自拔，觉得扫描线是离散位置修改不好操作，没想到其实有零的情况只多了一点点 $t2$ 在想回滚莫队，但是撤回操作不会很好地处理，并没有领会随机的意图…… $t3$ 来者不善又是 $FWT$…… A. a 以 $i$ 为右端点的最远左端点可以递推出

FWT 学习笔记

类似 FFT 地，FWT 也有这样的代码实现： inline int add(int x){return x>=mod?x-mod:x;} inline int sub(int x){return x<0?x+mod:x;} inline void fwt(int *f,int len,int flg){ for(int i=1;i<len;i<<=1) for(int j=0;j<len;j+=i+i) for(int k=j;k<j+i;k++){

快速沃尔什变换（FWT）

快速沃尔什变换解决什么问题？回顾之前学过的快速傅里叶变换，能在 $O(n\log n)$ 的时间复杂度内计算下面这个卷积式： \[C[k] = \sum_{i+j=k}A[i]\times B[j] \]而快速沃尔什变换解决的问题与上式略有不同： \[C[k] = \sum_{i\bigoplus j = k} A[i]\times B[j] \]其中，$\bigoplus$

[cf1336E]Chiori and Doll Picking

将所有$a_{i}$在二进制下展开，得到一个$n\times m$的01矩阵对该矩阵做高斯消元（显然不影响结果），并要求得到如下的形式$$\left|\begin{array}{ll}1&0&0&\cdots&0&\cdots\\0&1&0&\cdots&0&\cdots\\0&0&1&\cdots&0&\cdots\\\vdots&\vdot

【笔记】快速莫比乌斯/沃尔什变换 (FMT/FWT)

在看懂之前看大家就写了下面三个式子，感觉个个都是谜语人，然而确实只需要下面三个式子就行了... 对于 FFT，我们求的就是多项式卷积，思路是对数组变换一波，然后点乘，然后再逆变换回来对于数组 A 和 B，求 C 定义为：$$C_i=\sum_{j\oplus k = i}A_j \times B_k$$ 其中 $\oplus$ 分别可以是

FFT/NTT/FWT重学or新学？

不知不觉，就开始学习多项式了，好快啊重新拾起我之前学的百嘛不是的$FFT$，新学$NTT/FWT$ 开始吧学习博客 FWT博客 FFT:快速傅里叶变换总的来说就是快速求取两个多项式的乘积把板子粘在这里Luogu3803 多项式乘法 code #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define fo

[学习笔记]快速莫比乌斯与快速沃尔什变换

直接给定形式吧。不给证明了。或卷积 $c_i = \sum_{i | j =k} a_i * b_i$ 写作$FWT(A)_i = \sum_{j \in i}A_j$ 将$A$对半分为$A_0,A_1$ $FWT(A) = \left\{ \begin{aligned} (FWT(A_0),FWT(A_0) + FWT(A_1))\\ A(len_A = 0) \end{aligned} \right.$ 先转成$FWT$后，两

位运算卷积与集合幂级数

位运算卷积：定义位运算卷积：第 $i$ 项和第 $j$ 项的乘积贡献到第 $i⊕j$ 项。其中 $⊕$ 是某种位运算，即： \[S[k]=\sum_{i⊕j=k}A[i]⋅B[j] \]记作： \[S=A*B \]构造 $FWT$ 变换：尝试把位运算卷积转化成点积。设 $fwt(A)$ 是幂级数 $A$ 经过 $FWT$ 变换之后得到的幂

CF850E Random Elections 题解

Link. Codeforces Luogu Description. 有一个函数 $f(S)$ 表示当状态为 $S$ 的投票状态是 $1$ 赢还是 $2$ 赢。现在每个人等概率随机一个 ABC 的排列表示三个候选人的优先级。进行三轮大选，问存在一个人赢了两局的概率。保证 $f(S)=f(T\oplus S)$，$T$ 表示全集。 Sol

[Codeforces]662C - Binary Table（FWT）

一些套路的整合题，是一个好题。题意：给定一个$n\times m$的01矩阵，每次可以选择一行或者一列进行取反，问任意进行操作后，矩阵中剩下的1最少有几个。 $n\le 20, m\le 10^5$ 先进行一下转化，首先注意到$n$是很小的，有一个贪心策略是，确定了行的取反状态后，列的取反方案其实确定了，每一

[Luogu]P5387 [Cnoi2019]人形演舞(FWT,SG函数)

刚好FWT和SG函数都刚学，这道题也挺模板的，就拉来做做。手动打个SG函数表发现$sg[2^k+n]=n+1$，然后博弈论就被干掉了，剩下的问题变成，有$m$个数可以选，选择$v$个数使得异或和为$0$。这道题题意有锅吧，正确表述应该是大小为$V$的序列，而不是集合，因为方案数跟选取顺序有关。令\(

Solution -「Gym 102956A」Belarusian State University

$\mathcal{Description}$ Link. 给定两个不超过 $2^n-1$ 次的多项式 $A,B$，对于第 $i\in[0,n)$ 个二进制位，定义任意一个二元加法 $\oplus_i:\{0,1\}\times\{0,1\}\rightarrow\{0,1\}$，而对于两个整数 $u,v\in[0,2^n)$，定义 \(u\oplus v=\sum_{i=0}^{n-1}(u_i\opl

FWT整理

FWT by AmanoKumiko 1.Or \[A_i=∑_{j|i=i}Aj \]\[FWT[A]=merge(FWT[A_0],FWT[A_0]+FWT[A_1]) \]\[UFWT[A]=merge(UFWT[A_0],UFWT[A_1]-UFWT[A_0]) \] 2.And \[A_i=∑_{j\ and\ i=i}Aj \]\[FWT[A]=merge(FWT[A_0]+FWT[A_1],FWT[A_1]) \]\[UFWT[A]=merge(UFWT[A_0]-

Atcoder Beginner Contest 212 G,H题解

G Description ∀ x ∈ [ 0 , P )

FMT/FWT

用处处理一些位运算卷积，$O(n2^n)$ \[c_i=\sum_{k \oplus j=i} a_k\times b_j \]大体思想构造某种映射，使得能够 $O(n\log n)$ 内得到变换，假设原数列为 ${a_n}$，新数列就是 ${fwt[a]_i}$。然后知道了 ${fwt[a]_i}$ 和 ${fwt[b]_i}$，能 $O(n)$ 得到 ${fwt[c]_i}$ 最

容斥原理

一般化，有若干个物品，若干个属性，每个物品有若干个属性（可能没有）。现在要求有属性的物品的总数。我们要求的，就是拥有某一个属性的总数，减去拥有某两个属性的总数，加上拥有某三个属性的总数，依次类推。应用直接容斥固定什么是物品，什么是属性，然后直接根据定义直接容斥。硬币购物一种