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Luogu P8479 「GLR-R3」谷雨
自己写的关于这类剖分方法的 \(blog\) 题意简述 称一条链和与其有连边的点 构成的点集 为 “毛毛虫”，链上的点为 “毛点”，某个 “毛点” \(x\) 的脚（与之右边但非链点）的点集为 \(T_x\)。 操作：给出一条 “毛毛虫” 的两端 \(u, v\)，将该“毛毛虫”内的点的点权改为 \(k\)； 询问：开始有洛谷 P3810 【模板】三维偏序（陌上花开）
原题链接 第一维直接排序，然后cdq分治+树状数组 对于分治的左右区间，区间内部按照第二维排序（已按第一维排序好了，就算打乱顺序，左右区间整体的第一维的偏序关系也不会受到影响） 然后遍历右区间的元素，把左区间的第二维小于当前元素的加入树状数组，统计答案即可，因为区间内部第二维都是单调cdq分治
cdq分治，一种广为人知的离线分治算法。大体的思想是： 将左右两边区间分开递归处理。 统计左边区间修改对右边区间查询的影响。 第一步很简单，写两个递归就行了。关键在第二步。我们搞个cdq的经典问题——三维偏序来具体解释这个东西。 P3810 【模板】三维偏序（陌上花开） 三维偏序，顾名模拟赛 矩形 （扫描线，三维偏序，线段树合并，并查集，线段树上二分）
PRO 题目大意：给定$N$个矩形，求连通块个数。($1 \leq N,x_1,x_2,y_1,y_2 \leq 100000$) SOL 乍一看就能知道是扫描线，不过这题的细节恐怖的要命。 （std同样看不懂，自己魔改了一下） 首先把完全相同的矩形去掉。 之后咱们可以发现，被其他矩形完全包含的小矩形对答案没有任何贡献，所以可以去「JOISC 2016 Day 1」俄罗斯套娃（二维偏序）
「JOISC 2016 Day 1」俄罗斯套娃 思路清奇的呀，先在坐标轴上画图（R为横坐标，H为纵坐标），然后发现每个询问之间没有影响，考虑离线处理，因为询问的要求是选择>=R的，所以把横坐标从大到小排序，二维偏序？，那么在H对应的纵坐标上画一条线，就发现是在这以下的娃娃都满足，然后就树状数组维护不可以套起【题解】 洛谷 P1631 序列合并
这个题提供给了我们一个比较新颖的思考方向： 发现由所有的和可以组成这样的 \(n\) 个偏序集： \[\{a_1+b_1,a_1+b_2 \dots a_1+b_n\} \]\[\{a_2+b_1,a_2+b_2 \dots a_2+b_n\} \]\[\dots \]\[\{a_n+b_1,a_n+b_2 \dots a_n+b_n\} \]然后我们可以考虑把每个偏序集中最小的元素加入一CDQ分治学习笔记
CDQ 分治 \(CDQ\) 分治可以用来解决多维偏序问题 它是一个在线算法 二维偏序 给你 \(n\) 个元素，每个元素有两个属性 \(a_i\) 和 \(b_i\)，定义 \(f(i)\) 表示 \(a_j\le a_i\) 且 \(b_j\le b_i\) 的元素数量 求 \(f(i)=d\) 的数量 \((d\in[0,n])\) 思路： 我们可以以 \(a_i\) 为第一关ICPC 2022 KM 补题
先说三道概率相关的题 B G C 然后是两道思维难度不大，但容易被卡的题 陷入log做法就会被精度和常数反复折磨的F 需要精妙地规避精度问题的L 大部分的做法是，根据题意列出关于斜率的不等式，转化为二维偏序； 我是对夹角的范围进行了\([L,\pi)-(R,\pi)\)这样的容斥，就可以转化为两个向量的全序/偏序关系及应用
偏序关系、全序关系都是公理集合论中的一种二元关系偏序集合：配备了偏序关系的集合全序集合：配备了全序关系的集合 偏序：集合内只有部分元素之间在这个关系下是可以比较的比如：比如复数集中并不是所有的数都可以比较大小，那么“大小”就是复数集的一个偏序关系～ 全序：集合内任何一对元素全序 偏序的关系及应用
全序是指，集合中的任意两元素之间可以进行比较的关系，而偏序是指，集合中部分元素之间有可以比较的关系。如实数中的任意两个数能比较大小，那么“大小”就是实数集的一个全序关系；复数集中并不是所有数都可以比较大小，那么“大小就是复数集上的一个偏序关系” 偏序关系是全序关系的子集全序，偏序
全序是指，集合中的任意两元素之间可以进行比较的关系，而偏序是指，集合中部分元素之间有可以比较的关系。如实数中的任意两个数能比较大小，那么“大小”就是实数集的一个全序关系；复数集中并不是所有数都可以比较大小，那么“大小就是复数集上的一个偏序关系”偏序关系是全序关系的子集，某CDQ 分治
总结 偏序问题 1D 动态规划优化 动态问题转为静态问题 \(\quad\)所有的这些都离不开一个精髓，就是分治处理：先处理左边区间，然后处理左边区间对右边区间的贡献，然后处理右边区间。（后面两项处理根据具体应用调整操作顺序） \(\quad\)对于偏序问题一般的就是三维偏序，要注意的是一边算贡全序关系表
偏序集合：配备了偏序关系的集合全序集合：配备了全序关系的集合 偏序：集合内只有部分元素之间在这个关系下是可以比较的比如：比如复数集中并不是所有的数都可以比较大小，那么“大小”就是复数集的一个偏序关系～ 全序：集合内任何一对元素在在这个关系下都是相互可比较的比如：有限长度的序列离散数学全序关系
离散数学全序关系 偏序关系、全序关系都是公理集合论中的一种二元关系偏序集合：配备了偏序关系的集合全序集合：配备了全序关系的集合 偏序：集合内只有部分元素之间在这个关系下是可以比较的比如：比如复数集中并不是所有的数都可以比较大小，那么“大小”就是复数集的一个偏序关系～ 全序：全序和偏序的关系及应用
假设A是一个集合 {1,2,3} ；R是集合A上的关系，例如{<1,1>,<2,2>,< 3,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>} 自反性：任取一个A中的元素x，如果都有<x,x>在R中，那么R是自反的。 对称性：任取两个A中的元素x,y，如果<x,y> 在关系R上,那么<y,x> 也在关系R上，那么R是对称的。 反对称性：任取两个A中元素x,y(x!=y)，如离散 全序和偏序的关系
偏序关系是全序关系的子集，某集合上的一个全序关系一定是一个偏序关系，反之这不一定成立。 偏序关系满足自反、反对称、传递，而全序关系多了一个total，我的理解就是，集合中任意两元素都具有该关系，如≥、≤就是全序关系 全序是指，集合中的任意两元素之间可以进行比较的关系，而偏序是指，集合全序和偏序关系
偏序集合：配备了偏序关系的集合全序集合：配备了全序关系的集合 偏序：集合内只有部分元素之间在这个关系下是可以比较的比如：比如复数集中并不是所有的数都可以比较大小，那么“大小”就是复数集的一个偏序关系～ 全序：集合内任何一对元素在在这个关系下都是相互可比较的比如：有限长度的序列全序和偏序的关系
偏序关系是全序关系的子集，某集合上的一个全序关系一定是一个偏序关系，反之这不一定成立。 偏序关系满足自反、反对称、传递，而全序关系多了一个total，我的理解就是，集合中任意两元素都具有该关系，如≥、≤就是全序关系 全序是指，集合中的任意两元素之间可以进行比较的关系，而偏序是指，集合离散 全序和偏序的关系
偏序关系是全序关系的子集，某集合上的一个全序关系一定是一个偏序关系，反之这不一定成立。 偏序关系满足自反、反对称、传递，而全序关系多了一个total，我的理解就是，集合中任意两元素都具有该关系，如≥、≤就是全序关系 全序是指，集合中的任意两元素之间可以进行比较的关系，而偏序是指，集合全序和偏序的关系
偏序关系是全序关系的子集，某集合上的一个全序关系一定是一个偏序关系，反之这不一定成立。 偏序关系满足自反、反对称、传递，而全序关系多了一个total，我的理解就是，集合中任意两元素都具有该关系，如≥、≤就是全序关系。 全序是指，集合中的任意两元素之间可以进行比较的关系，而偏序是指，集【随笔】在 O(nlogn) 的时间内计算三维偏序
我们设三维分别为 \(a,b,c\)，以及 \(S_1=\{(i,j)|a_i<a_j\},S_2=\{(i,j)|b_i<b_j\},S_3=\{(i,j)|c_i<c_j\}\) 在这里先假设 \(a,b,c\) 都是排列，也就是不存在相同的数 那么要求的就是 \(|S_1\cap S_2\cap S_3|\) 我们考虑求出来 \(A=|S_1\cap S_2|+|S_2\cap S_3|+|S_3\cap S_1|\)，这POJ 1065
POJ 1065 贪心、偏序集、Dilworth定理、最长下降子序列 说到偏序集，在离散里的定义是： 设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系，简称偏序，记作≤。 偏序是在集合X上的二元关系≤（这只是个抽象符号，不是“小于或等于”），它满足自反性、反对称性和传递狄尔沃斯定理(Dilworth's theorem)
狄尔沃斯定理(Dilworth's theorem) 狄尔沃斯定理(Dilworth's theorem)亦称偏序集分解定理，是关于偏序集的极大极小的定理，该定理断言：对于任意有限偏序集，其最大反链中元素的数目必等于最小链划分中链的数目。此定理的对偶形式亦真，它断言：对于任意有限偏序集，其最长链中元素的数目必等C++等价与偏序关系的矩阵处理
C++等价与偏序关系的矩阵处理 Set模板的使用说明：sevencheng798-C++ Set用法总结整理 草稿本： 编写一段代码，接收键盘的输入，输入集合X。 例如 ： 1,2,…,10 两种情况：偏序关系R分别为 (1)“小于等于”<=；(2)“大于等于”>= 2 建立关系R的关系矩阵，并在屏幕打印输出对应关系的哈塞CDQ分治学习笔记
CDQ分治 用于解决偏序问题。 《算法竞赛进阶指南》中，称CDQ分治为“基于时间的分治算法”，其实是偏序问题的一种特殊形式。 二维偏序 在学习线段树和树状数组时，已经可以利用排序+数据结构 \(O(N\log{N})\) 解决二维偏序问题。同样，CDQ分治也行。 有 \(N\) 个元素，每个元素有 \(a,b,c\)