有限元分析简单实例之平面矩形薄板（matlab）

问题描述

对于如图所示的一个平面矩形薄板结构，施加如右图所示的几个方向力，对其进行有限元分析，计算各个节点的位移及支座反力。（其中F是合力，E是弹性模量，μ是泊松比，t是厚度）

要用到的函数

（1）计算单元的刚度矩阵

function k = Triangle2D3Node_Stiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,ID)
% 	计算单元的刚度矩阵
%   输入弹性模量E，泊松比NU，厚度t
%   输入三个节点的坐标xi,yi,xj,yj,xm,ym
%  	输入平面问题性质指标参数ID（1为平面应力，2为平面应变）
%  	输出单元刚度矩阵k(6*6)
A = (xi*(yj-ym)+xj*(ym-yi)+xm*(yi-yj))/2;
betai = yj-ym;
betaj = ym-yi;
betam = yi-yj;
gammai = xm-xj;
gammaj = xi-xm;
gammam = xj-xi;
B = [betai 0 betaj 0 betam 0;
    0 gammai 0 gammaj 0 gammam;
    gammai betai gammaj betaj gammam betam]/(2*A);
if ID==1
    D=(E/(1-NU*NU))*[1 NU 0;NU 1 0;0 0 (1-NU)/2];
elseif ID==2
    D =(E/(1+NU)/(1-2*NU))*[1-NU NU 0;NU 1-NU 0;0 0 (1-2*NU)/2];
end
k = t*A*B'*D*B;
end

（2）进行单元刚度矩阵的组装

function z = Triangle2D3Node_Assembly(KK,k,i,j,m)
%   该函数进行单元刚度矩阵的组装
%   输入单元刚度矩阵k，单元节点编号i,j,m
%   输出整体刚度矩阵KK
DOF(1)=2*i-1;
DOF(2)=2*i;
DOF(3)=2*j-1;
DOF(4)=2*j;
DOF(5)=2*m-1;
DOF(6)=2*m;
for n1=1:6
    for n2=1:6
        KK(DOF(n1),DOF(n2))=KK(DOF(n1),DOF(n2))+k(n1,n2);
    end
end
z = KK;
end

（3）计算单元的应力

function stress = Triangle2D3Node_Stress(E,NU,xi,yi,xj,yj,xm,ym,u,ID)
% 	计算单元的应力
%   输入弹性模量E，泊松比NU，厚度t
%   输入三个节点的坐标xi,yi,xj,yj,xm,ym
%  	输入平面问题性质指标参数ID（1为平面应力，2为平面应变）,单元的位移矩阵u(6*1)
%  	输出单元的应力stress（3*1），由于它为常应力单元，单元的应力分量为Sx,Sy,Sxy
A = (xi*(yj-ym)+xj*(ym-yi)+xm*(yi-yj))/2;
betai = yj-ym;
betaj = ym-yi;
betam = yi-yj;
gammai = xm-xj;
gammaj = xi-xm;
gammam = xj-xi;
B = [betai 0 betaj 0 betam 0;
    0 gammai 0 gammaj 0 gammam;
    gammai betai gammaj betaj gammgm betam]/(2*A);
if ID==1
    D=(E/(1-NU*NU))*[1 NU 0;NU 1 0;0 0 (1-NU)/2];
elseif ID==2
    D =(E/(1+NU)/(1-2*NU))*[1-NU NU 0;NU 1-NU 0;0 0 (1-2*NU)/2];
end
stress = D*B*u;
end

解答步骤

（1）变量输入及单元刚度矩阵的求解
输入弹性模量E，泊松比NU，薄板厚度t，指示参数ID，针对单元1和2，分辨求其刚度矩阵。

>> E= 1e7;
>> NU = 1/3;
>> t =0.1;
>> ID = 1;
>>> k1 = Triangle2D3Node_Stiffness(E,NU,t,2,0,0,1,0,0,ID)

k1 =

   1.0e+06 *

    0.2813         0         0    0.1875   -0.2813   -0.1875
         0    0.0938    0.1875         0   -0.1875   -0.0938
         0    0.1875    0.3750         0   -0.3750   -0.1875
    0.1875         0         0    1.1250   -0.1875   -1.1250
   -0.2813   -0.1875   -0.3750   -0.1875    0.6563    0.3750
   -0.1875   -0.0938   -0.1875   -1.1250    0.3750    1.2188

>> k2 = Triangle2D3Node_Stiffness(E,NU,t,0,1,2,0,2,1,ID)

k2 =

   1.0e+06 *

    0.2813         0         0    0.1875   -0.2813   -0.1875
         0    0.0938    0.1875         0   -0.1875   -0.0938
         0    0.1875    0.3750         0   -0.3750   -0.1875
    0.1875         0         0    1.1250   -0.1875   -1.1250
   -0.2813   -0.1875   -0.3750   -0.1875    0.6563    0.3750
   -0.1875   -0.0938   -0.1875   -1.1250    0.3750    1.2188

（2）刚度矩阵的组装
一共四个节点，每个节点有x，y方向上2个自由度，总自由度为8，因此，结构的总的刚度矩阵为8*8。运用Triangle2D3Node_Assembly函数进行刚度矩阵的组装。

>>  KK = zeros(8,8);
>> KK=Triangle2D3Node_Assembly(KK,k1,2,3,4);
>> KK=Triangle2D3Node_Assembly(KK,k1,3,2,1);
>> KK

KK =

   1.0e+06 *

    0.6563    0.3750   -0.3750   -0.1875   -0.2813   -0.1875         0         0
    0.3750    1.2188   -0.1875   -1.1250   -0.1875   -0.0938         0         0
   -0.3750   -0.1875    0.6563         0         0    0.3750   -0.2813   -0.1875
   -0.1875   -1.1250         0    1.2188    0.3750         0   -0.1875   -0.0938
   -0.2813   -0.1875         0    0.3750    0.6563         0   -0.3750   -0.1875
   -0.1875   -0.0938    0.3750         0         0    1.2188   -0.1875   -1.1250
         0         0   -0.2813   -0.1875   -0.3750   -0.1875    0.6563    0.3750
         0         0   -0.1875   -0.0938   -0.1875   -1.1250    0.3750    1.2188

（3） 边界条件处理及位移矩阵的求解
节点3，4不动，因此针对节点1和节点2的位移进行求解，节点1和节点2的位移对应KK矩阵中前四行和前四列，用k表示。然后定义对应的载荷列阵p，采用高斯消去法进行求解

>>  k = KK(1:4,1:4)

k =

   1.0e+06 *

    0.6563    0.3750   -0.3750   -0.1875
    0.3750    1.2188   -0.1875   -1.1250
   -0.3750   -0.1875    0.6563         0
   -0.1875   -1.1250         0    1.2188

>> p =[0;-50000;0;-50000]

p =

           0
      -50000
           0
      -50000

>> u=k\p

u =

    0.1877
   -0.8992
   -0.1497
   -0.8422

（4）计算各个节点的节点力（包含支反力和所施加的外力）

>> U =[u;0;0;0;0]

U =

    0.1877
   -0.8992
   -0.1497
   -0.8422
         0
         0
         0
         0

>> P=KK*U

P =

   1.0e+05 *

    0.0000
   -0.5000
   -0.0000
   -0.5000
   -2.0000
   -0.0702
    2.0000
    1.0702

可得到支反力

以上内容源自《有限元分析及应用》清华大学 曾攀老师主讲

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来源： https://blog.csdn.net/w1029126938/article/details/114676929