BSGS
作者：互联网
BSGS
前置芝士
\(Baby-Step-Giant-Step\) 算法，即大步小布算法，缩写为 \(BSGS\)
作用
解决类似 \(y^x\equiv z(mod~p)\)，给定 \(y,z,p>=1\) 求解 \(x\) 的问题
（普通的 \(BSGS\) 只能求解 \(gcd(y,p)=1\) 的情况）
推导过程
设 \(x=a*m+b,m=\lceil \sqrt p \rceil,a\in[0,m),b\in[0,m)\)
则 \(y^{a*m}\equiv z*y^{-b}(mod~p)\)
怎么求解？（当然可以逆元，主要是懒）
为了方便，设 \(x=a∗m−b\) ，那么\(y^{a*m}\equiv z∗y^b(mod~p)\)
枚举 \(b\in[0,m]\) ,将 \(z*y^b\) 存入 \(hash\) 表（也可存入 \(map\) ，但是常数较大，没有 \(hash\) 跑的快）
枚举 \(a\in[1,m]\) ,从 \(hash\) 表中寻找第一个满足 \(y^{a*m}\equiv z∗y^b(mod p)\)
此时 \(x=a*m-b\) 即为所求 （这里面 \(m=\sqrt p\) ）
（接下来是短暂的证明 \(m\) 为什么取 \(\sqrt p\)）
\(x\) 值最大时 \(a=m,b=0\) ，为 \(x=m*m=p\) ，超过 \(p\) 怎么办？
有一个公式 \(a^{p-1}\equiv 1(mod~p)\) 因此 \(a^k\equiv\dfrac{a^k}{a^{(p-1)*w}}(mod~p)\)
当 \(k>p\)时，可化为 \(a^k\equiv a^{(k~mod~p-1)}(mod~p)\)
所以 \(x>p\) 也会被%到 \(x<p\) ，这时可以直接找之前的答案
例题
P2485 [SDOI2011]计算器
题意
健达计算器，三个操作，一次满足（不是
思路
第一种：快速幂即可。
第二种：用拓展欧几里得算法即可。已知 \(a,b,p\) ，求 \(x\) 的最小值，使得 \(a*x\equiv b(mod~p)\) ，
可转化为：\(a*x+p*y=b\) ，要求 \(gcd(a,p)|b\) ，否则无解。
（鄙人偷懒，用了另一种办法：\(xy=z(mod~p)~~=>~~x\equiv z*y^{-1}(mod~p)\) ，
然后用乘法逆元求解即可）
第三种： \(BSGS\) 即可。
（记得特判 \(y|p\) 的情况）
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<map>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
#define ll long long
#define re register
using namespace std;
const int HashMod=100007;
inline int read(){
re int x=0,f=1;
re char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)) {x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int fpow(int a,int b,int mod)
{
int s=1;
while(b){
if(b&1)
s=1ll*s*a%mod;
a=1ll*a*a%mod;
b>>=1;
}
return s;
}
namespace Task1
{
void Solve(int y,int z,int p){
printf("%d\n",fpow(y,z,p));}
}
namespace Task2
{
void Solve(int y,int z,int p){
if(y%p==0&&z%p)
puts("Orz, I cannot find x!");
else
printf("%lld\n",1ll*fpow(y,p-2,p)*z%p);//就是这里，因为写了快速幂，就顺手用了一下
}
}
namespace Task3
{
struct HashTable//hash表
{
struct Line{ int u,v,next;}e[1000000];
int h[HashMod],cnt;
void add(int u,int v,int w)
{
e[++cnt]=(Line){w,v,h[u]};h[u]=cnt;
}
void Clear(){memset(h,0,sizeof(h));cnt=0;}
void Hash(int x,int k){
int s=x%HashMod;
add(s,k,x);
}
int query(int x){
int s=x%HashMod;
for(re int i=h[s];i;i=e[i].next)
if(e[i].u==x) return e[i].v;
return -1;
}
}Hash;
void Solve(int y,int z,int p){
if(y%p==0){
puts("Orz, I cannot find x!");
return ;
}
y%=p;z%=p;
if(z==1) {
puts("0");
return ;
}
int m=sqrt(p)+1;Hash.Clear();//注意 m 要向上取整
for(re int i=0,t=z;i<m;i++,t=1ll*t*y%p) Hash.Hash(t,i);//枚举x=a*m-b中的b
for(re int a=1,tt=fpow(y,m,p),t=tt;a<=m;a++,t=1ll*t*tt%p)//枚举x=a*m-b中的a
{
int b=Hash.query(t);
if(b==-1) continue;
printf("%d\n",a*m-b);
return ;
}
puts("Orz, I cannot find x!");
}
}
int main(){
int T=read(),K=read();
while(T--)
{
int y=read(),z=read(),p=read();
if(K==1) Task1::Solve(y,z,p);
if(K==2) Task2::Solve(y,z,p);
if(K==3) Task3::Solve(y,z,p);
}
return 0;
}
（这个就自己做吧，比例题还简单）
至于 \(ex~BSGS\) 就在下一篇博客了
标签：int,void,BSGS,equiv,include,mod 来源： https://www.cnblogs.com/jasony/p/13377315.html