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数论全家桶

欧几里得算法引理 $1$：$(a,b) = (a,a-b)$ 令 $(a,b)=d,(a,a-b)=k$。 $a \equiv 0 \pmod d, b \equiv 0 \pmod d,a-b \equiv 0 \pmod d$，所以 $k \ge d$ $a \equiv 0 \pmod d, a-b \equiv 0 \pmod d,b=a-(a-b) \equiv 0 \pmod d$，所以 $d \ge k$

AtCoder Regular Contest 148 A - mod M

题面 You are given a sequence $A = (A_1, A_2, ..., A_N)$. You may perform the following operation exactly once. Choose an integer $M$ at least $2$. Then, for every integer $i$ ($1 \leq i \leq N$), replace $A_i$ with the remainder w

原根

我也不知道为什么我求原根的板子都没打就来学ntt（好吧其实知道原根是啥就行阶定义：若 $\gcd(a,n)=1$ ,则满足 $a^{x}\equiv 1 \pmod n$ 的最小正整数 $x$ 称为 $a$ 模 $n$ 的阶，记作 $\text{ord}_n(a)$ 。性质： $a,a^2,a^3,\cdots,a^{\text{ord}_n(a)}$ 在模 $n$

证明：设：这个奇数位 $2n + 1$。则需要证明 $8 \mid (2n + 1) ^ 2 - 1$。因为 $(2n + 1) ^ 2 - 1 = 4n(n + 1)$ 又因为 $2 \mid n(n + 1)$ 所以 $8 \mid 4n(n + 1)$ 证毕证明：当 n 为奇数时：设：$2k + 1 = n$ \(3 ^ {2k + 1} + 1 = (3 + 1) \cdot (3 ^ {2k} - 3

Millar-Rabin 米勒罗宾算法小结（内附费马小定理证明以及二次探测定理证明）

因为他我学了龟速乘 Millar-robin 米勒罗宾这个小东西是用来素数判定的，且听我细细道来。前置知识肥妈小定理又名费马小定理：当一个数 $x$ 不是一个质数 $p$ 的倍数时有： \[x^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \]证明：对于一个序列 \[b = \left \{1,2,3....p-1\right \} \]令 \[

关于一加一碰手游戏的一点研究

首先介绍 “一加一碰手游戏”。具体规则是这样的：游戏有两个玩家，每个玩家有两只手。初始所有手上的数字都为 $1$。两个玩家轮流行动，轮到一个玩家时他可以选择对方任意一只手上的数字，将自己任意一只手上的数字加上这个数后对 $10$ 取余数。若有一只手上的数字为 \(

时隔多年，再次复习 CRT（数论全家桶）

1.CRT 中国剩余定理，用来求解同余方程组 \begin{cases} x\equiv a_1\pmod {m_1} \\ x\equiv a_2\pmod {m_2} \\ x\equiv a_3\pmod {m_3} \\ …………\\ x\equiv a_n\pmod {m_n}\\ \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x≡a1(modm1)x≡a2(modm2)x≡a3(modm3

[笔记] 一种快速求 1 ~ n 逆元的方法

我们现在要求1~n在mod m意义下的逆元(n<m，m为素数)。对于一个[1,n]中的数i，我们令$k=\lfloor\frac{m}{i}\rfloor,r=m \ mod \ i$ 然后$ki+r \equiv 0 (mod \ m)$ 两边同时乘上$i^{-1}r^{-1}$，得到$kr^{-1}+i^{-1} \equiv 0 (mod \ m)$ 因此\(i_{-1} \equiv -kr^{-1}(mod \

拓展中国剩余定理 exCRT

求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 $n_1, n_2, ···, n_k$ 不两两互质） \[\left\{ \begin{matrix}x & \equiv & a_1 & (mod \ n_1)\\ x & \equiv & a_2 & (mod \ n_2)\\ \vdots\\ x & \equiv & a_k & (mod \ n_k)\end{matrix

同余系全家桶

一.逆元如果一个线性同余方程 $ax \equiv 1 \pmod b$，则称 $x$ 为 $a \bmod b$ 的逆元，记为 $a^{-1}$。使用方法对于 $\frac{a}{b} \bmod p$，求出 $b \bmod p$ 的逆元，与 $a$ 相乘并 $\bmod p$ 得到结果。优势：避免了分数的精度问题。求逆元 exgcd 法求解 \(ax

数论学习笔记

0. 前置知识 0.1 常用数学标识若 $a$ 与 $b$ 模 $p$ 同余，则写成 $a\equiv b\pmod p$。完全剩余系：$(a_1,a_2,...,a_{n-1})$ 模 $n$ 两两不同，则称 $(a_1,a_2,...,a_{n-1}))$ 为模 $n$ 的完全剩余系。 0.2 二项式定理 \[(a+b)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^

原根

原根阶：满足 $a^n\equiv 1(\mod p)$ 的最小的 $n$，为 $a$ 模 $p$ 的阶原根：若 $(a,m)=1$ 且 $\delta_m(a)=\varphi(m)$，则 $a$ 为模 $m$ 的原根判定方法：若对于 $\varphi(m)$ 的每个素因子 $p$，都有 $a^{\frac{\varphi(m)}{p}}\ne 1(\mod p)$ 存在定理：需要满

原根

目录原根Some Important Ideas Before THis阶DefinitionProperty 1Property 2Property 3Property 4原根Definition原根判定定理原根个数原根存在定理原根存在定理Lemma to Theorem 1Theorem 1Lemma to Theorem 2Theorem 2Theorem 3Theorem 4 原根 Some Important Ideas Before THi

【题解】CF1264F Beautiful Fibonacci Problem

题目链接讲一个不是官方题解的做法。该做法来自评论区。题目要求构造 $a+id$ 为 $F_{b+ie} \bmod 10^{18}$ 的一个子串。自然考虑把这个子串在一个固定的位置构造。但是打个小一点的表容易发现最后几位是无法构造出所有数字的。发现 $a+id\le10^6$，也就是说 $a+id$ 最

原根存在性定理的群论证明

原根存在性定理的证明定义模$m$意义下满足阶为$\varphi(m)$的元素为$m$的原根，求证$m\in\N^+$的原根存在，当且仅当$m\in\{2,4,p^a,2p^a|p\in \complement_P\{2\},a\in\Z^+\}$，其中$P$为素数集。显然，如果$m$的原根存在，那么$m$的既约剩余系就是以原根为生成元的\(\va

乘法逆元

乘法逆元对于正整数 $a$ ，若存在 $s$ 使 $as\equiv1 \pmod{m}$ 则记 $s$ 是 $a$ 在模 $m$ 下的逆元，即 $s\equiv a^{-1} \pmod{m}$ $a$ 存在逆元的充要条件为 $\gcd(a,m)=1$ 费马小定理：若 $p$ 为质数，则对于任意整数 $a$ 有 $a^p \equiv a \pmod{p}$

快速幂求逆元

快速幂求逆元给定 $ n $ 组 $ a_i, p_i $，其中 $ p_i $ 是质数，求 $ a_i $ 模 $ p_i $ 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。注意：请返回在 $ 0 \sim p-1 $ 之间的逆元。乘法逆元的定义若整数 $ b，m $ 互质，并且对于任意的整数 $ a $，如果满足 $ b|a $，则存在一个整数 $ x $，使

Baby_Step_Gaint_Step(BSGS) 算法

$BSGS$ 算法，又称 “北（$B$）上（$S$）广（$G$）深（$S$）” 算法，“拔山盖世”算法，可以在 $O(\sqrt{n})$ 的复杂度内求解离散对数问题。题目描述：给定质数 $p$ 和整数 $a, n$，求最小的非负整数 $m$ ，满足 $a^m \equiv n(mod\ \ p)$ 。算法分析：最暴力的算法就是每句每一个 \(

初等数论漫谈/学习记录

八个月前浅尝辄止地碰了一下初等数论，写了一大堆零零散散的blog，想了想最好还是把它们整理一下，顺便补充一点当时没学到/没写到的内容。以下讨论对象均为整数。 exgcd 21.11.02 即扩展欧几里得，可以以普通欧几里得的复杂度求出关于 $x,y$ 的不定方程 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的一组特

2022.7.19 模拟赛

2022.7.19 模拟赛 A 略 B 由于 $2333333333333333=311\times749803\times1006201$ 我们考虑设这三个数分别为 $p_1,p_2,p_3$ 然后我们暴力找出 $x_{1\sim 3}$ 使得 $x_i^2\equiv a\pmod {p_i}$ 上述的 $x_i$ 只可能为 $0$ 个或 $1$ 个或 $2$ 个然后考虑对于所有

JSP中<meta http-equiv="pragma" content="no-cache">中http-equiv功能介绍

http-equiv顾名思义，相当于http的文件头作用，它可以向浏览器传回一些有用的信息，以帮助正确和精确地显示网页内容，与之对应的属性值为content，content中的内容其实就是各个参数的变量值。 meat标签的http-equiv属性语法格式是：＜meta http-equiv=”参数” content=”参数变量值”＞；其中http

P1397 [NOI2013] 矩阵游戏题解

P1397 [NOI2013] 矩阵游戏题解首先考虑 $F_{n,m}$ 是怎么由 $F_{1,1}$ 递推到的考虑用矩阵优化两个递推式子，那么 \[\begin{bmatrix} F_{i,j-1}&1 \end{bmatrix} \times\begin{bmatrix}a & 0 \\ b & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} F_{i,j}&1 \end{bmatrix} \]\[\begi

P5491 【模板】二次剩余

$\text{Summary}$ 实际上是做法的归纳一切皆是结论性的，没有证明！模 $p$ 意义下的二次剩余有 $\frac{p-1}2$ 个，二次非剩余也恰有那么多考虑解关于 $x$ 的同余方程 \[x^2 \equiv n \pmod p \]当 $n=0$ 时，$x=0$ 是唯一解当 $n \not= 0$ 时，若方程有解，则只有两个互为

模数为奇素数的二次同余方程

模数为奇素数的二次同余方程求解二次同余方程$x^2 \equiv n \pmod p$($p$为奇素数) 要求二次同余方程组，就必须先判断方程是否有解，这一部分我懒得写，在此略去。而当$n=0$显然只有$x \equiv 0$一个解。下面讨论$n \not \equiv 0$ 的情况。此时这个方程有且仅有两个解。证

7.5 $\text{Math Notes}$

$\large\text{Date: 7.5}$ $\text{OI Maths}$ $\text{I - CRT}$ 一句话： $\large Ans=\sum\limits_{i=1}^nr_iM_i\operatorname{inv}(M_i, m_i) (\mod M)$ （$\large M_i=\dfrac{M}{m_i},M=\prod m_i$） $\rm exgcd$ 求逆元： LL exgcd(LL a, LL