关于Homography的一些思考
作者：互联网
搬运自我的CSDN https://blog.csdn.net/u013213111/article/details/101233824
1 DoF of Homography
追根溯源，还是去看高等几何/解析几何吧。
对于一个二维射影homography 3*3矩阵
\[ H = \left[ \begin{matrix} h_{11} & h_{12} & h_{13} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} \\h_{31} & h_{32} & h_{33} \end{matrix} \right] \]
虽然有9个元素，但并不是要求出每一个元素具体的值，而只需要得到这些元素的比例关系即可，得到比例关系就确定了homography，因此就减去了一个自由度。
那么假如\(h_{33} \neq 0\)，一种将\(H\)进行参数归一化的方法就是可以将每一个元素除以\(h_{33}\)，经过这样的处理，原本的\(h_{33}\)就变为了1，剩下的是8个未知的比值，只要求解出这8个比值即可，即8个自由度。其实理论上也不一定要用\(h_{33}\)，虽然一般都用这个，毕竟其他元素还挺有可能为0的。
BTW，what if \(h_{33} = 0\)？如果将方程列出来，可以发现这是一个将\((0,0,w)\)点（也就是原点）映射到\((x,y,0)\)点（也就是无穷远点）的射影。然而恕余愚钝，并想象不出这会是个什么样的射影。
除了以\(h_{33}\)作为一个“基准值”来进行归一化，还有一种方式是以\(\sum h_{ij}^2 = 1\)作为约束，或者说是以\((\sum h_{ij}^2)^{1/2} = 1\)作为约束，也就是矩阵的L2范数或者又称Euclidean范数 OR Frobenius范数。这就是以矩阵的“长度”作为基准值进行归一化。
由于Homography的DoF为8，因此认为用4对点即可求解出一个Homography。
再回到高等几何中，有这样的定理：
任一二维射影对应可由已知四对对应点（每一方四点中无三点共线）唯一确定。
因此在计算机视觉中采用4对点去确定一个homography在数学上是有依据的！
作为一个完美主义强迫症患者表示对这个结果感到很满意。
2 平行线与无穷远点
参考：
Projective Transformations
假设\(w=1\)是射影平面，\(ax+by+c_1=0\) 和 \(ax+by+c_2=0\)是该平面上的两条平行线，怎么理解这两条平行线的交点是无穷远点呢？
注意到射影平面上的每一个点都与3D空间中过射影中心的一条直线相对应，那么这两条平行线也就分别对应于3D空间中的两个平面，而这两个平面的交线，也就是\(w=0\) 这个平面上的直线\(ax+by=0\)，根据射影几何中的定义，这条直线便与无穷远点相对应。
标签：平行线,Homography,33,关于,思考,平面,无穷远,射影 来源： https://www.cnblogs.com/lyrich/p/11605042.html