dp 多维状态的分步优化
作者：互联网
面对一个多维 \(\text{dp}\) 问题，根据维度之间联系的紧密程度，我们可以选择
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维度之间紧密相关，只能直接枚举
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维度之间完全无关，只是贡献通过某种形式相加，可以割裂为两个dp处理
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介于 \(1,2\) 之间，不能割裂计算，但是可以将转移过程割裂为若干步来优化
e.g.1: 选区间1
问题描述
对于所有二元组 \(a,b, (a,b\in[1,n]\cap \mathbb{Z}, a\leq b)\)，给出了其权值 \(w_{a,b}\)。
现在求一个元组序列 \(A=(a_1,b_1),(a_2,b_2),\cdots\)，满足 \(a_1\le a_2,b_2\le b_1\)
定义 \(\displaystyle w_A=\sum w_{a_i,b_i}+\sum w_{a_{i-1},a_i}+\sum w_{b_{i-1},b_i}\) ，最大化\(w_A\) 。
原 \(\text{dp}\)
令\(dp_{a,b}\)表示最后一个元组为\(a,b\)时的最大权值，状态数为\(O(n^2)\)。
直接转移复杂度为\(O(n^2)\)，总复杂度为\(O(n^4)\)。
分布转移
两维的状态决定了权值，因此不可以割裂
但是两个维度在转移时并没有必然联系，因为只涉及 \(a_{i}\) 和 \(a_{i+1}\)，\(b_i\) 和 \(b_{i+1}\) 的关系
因此可以先转移\(a\)这一维，然后再转移\(b\)这一维
具体的，转移可以描述如下
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\(dp_{a,b}+w_{a,c}\rightarrow f_{c,b}\)
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\(f_{c,b}+w_{d,b}+w_{c,d}\rightarrow dp_{c,d}\)
优化后转移复杂度为 \(O(n)\)，状态数虽然加倍但是不影响量级
总复杂度为 \(O(n^3)\)
e.g.2: 选区间2
问题描述
对于所有二元组\(a,b, (a,b\in[1,n]\cap \mathbb{Z}, a\leq b)\)，给出了其权值\(w_{a,b}\)
现在求一个元组序列$A=(a_1,b_1),(a_2,b_2),\cdots$，满足$a_1<a_2,b_2<b_1$
定义$\displaystyle w_A=\sum w_{a_{i-1},a_i}+\sum w_{b_{i-1},b_i}$ ，最大化$w_A$
原dp
令$dp_{a,b}$表示最后一个元组为$a,b$时的最大权值，状态数为$O(n^2)$
直接转移复杂度为$O(n^2)$，总复杂度为$O(n^4)$
分布转移
容易发现这个问题同样适用选区间1的优化
割裂
容易发现权值由$a_i,a_{i+1}$，$b_i,b_{i+1}$决定，不需要知道过程中每一个$a_i,b_i$的组，只需要知道数量
而$a,b$有单调性，所以关于$a\leq b$的限制只需要最后满足即可
令$f_{i,j}$表示已经枚举了$i$个元素，最后一个$a_i=j$时的最大值
同理，令$g_{i,j}$已经枚举了$i$个元素，最后一个$b_i=j$时的最大值
状态数为$O(n^2)$，转移复杂度为$O(n)$，最后可以在$O(n^2)$时间内合并$f,g$的贡献
总复杂度为$O(n^3)$
e.g.3: 足球
Source: COCI2012/2013 Contest#5 F
问题描述
有$2n$个人踢球，两队各$n$个人，一开始球在A队1号
每秒钟，按照一定概率球可能会被某一些对手抢走，或者传给某一些队友，或者射门
射门只有一定概率$p_i$射中，每次射门之后球会到对方1号队员
求$T$秒后比分为$a,b$的概率，如果一队得分达到$r$，视作胜利，比赛结束
为了便于分析，$O(n)=O(T)$
原dp
记录时间、比分、球的位置，状态数为$O(Tnr^2)=O(n^2r^2)$
转移枚举的情况不超过$2n$，转移复杂度为$O(n)$，总复杂度为$O(n^3r^2)$
割裂
在记录比分的同时记录球的位置并没有意义，因为实际上关键事件实际上就是射门，每次射门之后球所在位置情况是$O(1)$的
那么新的dp将 球的位置 和 比分情况 割裂开来
1.处理球的位置，令$f_{i,j,k}$表示一开始球在$i$队1号时，第一次射门是在$j$时刻，由球员$k$射门（$k$可以是两队中任何一个）
状态数为$O(Tn)$，转移为$O(n)$，这一部分复杂度为$O(n^3)$
2.比分情况
令$g_{i,j,a,b}$表示$i$时刻，球在$j$队1号，当前比分为$a:b$的概率
状态数为$O(Tr^2)$，转移为$O(T)$，总复杂度为$O(T^2r^2)$
e.g.4: 异或
Source: CSP-S 2020 初赛完善程序2 （大雾
给定长度为$n$的序列$a_i\in[0,m),m=2^{16}$，$n\leq 10^{5}$
设$w(x)=\text{pop_count}(x)+x$，求一个子序列$b_i$
最大化$\sum w(b_i\oplus b_{i+1})$
原dp
令$dp_{x}$表示子序列最后一个元素为$x$时的答案，状态数为$O(m)$
对于每个数$a_i$，枚举前驱状态进行转移，复杂度为$O(m)$
总复杂度为$O(nm)$
分布转移
这道题看似是一个1维dp，但是实际上实际上权值是分位处理的
我们不如先看一个类似的选区间问题的变体
对于所有二元组$a,b, (a,b\in[1,n]\cap \mathbb{Z})$，给出了其权值$w_{a,b}$
给定了一个元组序列$A=(a_1,b_1),(a_2,b_2),\cdots$
现在要选出$A$的一个子序列$B$，定义$\displaystyle w_B=\sum w_{a_{i-1},a_i}+\sum w_{b_{i-1},b_i}$ ，最大化$w_B$
实际上这两个问题是完全相同的，但是由于限制了$a_i,b_i$为子序列，导致分布显得比较奇怪
分布转移的过程中，转移状态应该是这样的
$(a_1,b_1)\rightarrow (a_2, b_1) \rightarrow (a_2,b_2)$
容易发现这个过渡状态$(a_2,b_1)$实际上并不是一个存在的元组，并不满足匹配关系
那么我们如何得到这个过渡状态呢？
1.我们手里有$(a_1,b_1)$的dp值$dp_{a,b}$
2.我们并不知道$a_2$，于是需要向所有可能的$a_2$转移，得到$f_{c,b}$
$\forall c,dp_{a_1,b_1}+w(b_1,c)\rightarrow f_{c,b_1}$
3.当拿到$a_2,b_2$时，此时我们已经知道了$a_2$，但是不知道$b_1$，因此需要从所有$b_1$中得到$dp_{a_2,b_2}$的值
而为了分布转移，我们在中间过程中并不需要
$\forall c,f_{a_2,c}+w(c,b_2)\rightarrow dp_{a_2,b_2}$
分析会发现，$dp_{a,b}$反而在这个过程中只是一个过渡值，并不需要开数组记录
于是就得到了完善程序的dp
标签：数为,复杂度,sum,分步,权值,多维,转移,dp 来源： https://www.cnblogs.com/A-Quark/p/16448270.html