CF1625E2 Cats on the Upgrade (hard version)

给出一个括号序列 \(s\)，初始的时候没有 .， 每次操作有两种：

• 1 l r：保证 \([l + 1, r - 1]\) 为空或者全是 . 并且 \(s_l\) = (，\(s_r\) = )，那么将 \(s_l, s_r\) 变成 . 。
• 2 l r：定义合法的括号序列是满足括号匹配同时开头结尾均不是 .，求出 \([l, r]\) 中有多少个子串是合法的括号序列，保证 \([l, r]\) 是合法的括号序列。

对于简单版，保证没有修改操作。

　　数据结构 括号序列

　　为什么会了 E1 但是没有想到 E2 啊啊啊啊。

　　对于简单版，注意到可以根据建树，那么我们定义每个节点的权值 \(f_x = \sum_{y \in son_x} f_y + \binom{deg_x}{2} + 1\)，然后因为给出的括号序列合法，然后每次询问就是框选了若干兄弟子树，于是答案为 \(\sum f_x + \binom{cnt}{2}\)，\(cnt\) 代表兄弟子树的个数，然后就可以预处理 + 前缀和处理了。

　　现在考虑修改，注意到这个 DP 是子树求和的形式 + 一个与 \(deg\) 有关的式子，于是我们可以考虑将每个节点的贡献设为 \(\binom{deg}{2} + 1\) 放到其在 \(s\) 中对应的左端点上。

　　然后我们每次询问的时候，就是区间求和 + 我们目前框选的兄弟子树个数，其中前面一部分上一段已经讲完了，直接线段树 or 树状数组。

　　现在考虑如何计算兄弟子树个数，我们注意到兄弟节点子树一定是这段区间中深度最小的点，于是我们可以再对于每个节点赋上一个深度的权值，这样我们也就是要求该权值最小的点的个数，这个也是线段树经典问题。

　　至于修改，直接将贡献置为 \(0\)，深度置为 \(\infty\) 即可。

　　具体见代码。

标签：CF1625E2,子树,hard,括号,Cats,权值,序列,binom,节点
来源： https://www.cnblogs.com/werner-yin/p/15796184.html