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Matrix-Tree Theorem

简介矩阵树定理用来求无向图生成树个数，或者有向图指定根的内向树、外箱树个数。这东西大概是 useless，但是毕竟正式比赛考过（联合省选 2020，sto wzj52501 orz），所以还是学一学。全文临摹 OI-Wiki。无向图对于一张无向图 $G$，定义其度数矩阵 $D$： \[D_{ij}=\begin{cases}\deg(i),

[笔记] 兰道定理 Landau's Theorem

兰道定理的内容：一个竞赛图强连通的充要条件是：把它的所有顶点按照入度d从小到大排序，对于任意$k\in [0,n-1]$都不满足$\sum_{i=0}^k d_i=\binom{k+1}{2}$。兰道定理的证明：引理：一个竞赛图强连通的充要条件是对于任意$S \subsetneq 点集V$，都存在一个点$u \notin S$

重修主定理（Master Theorem）

介绍我也不知道为啥叫这个名字。更可口的英文版用于解决分治算法复杂度。主定理适用于以下形式的递归： \[T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n) \]其中 $a\ge 1,b>1$ 为常数，$f(n)$ 是渐近正函数。啊啊啊更标准的去看英文版的吧，我这里说人话。比较 $X=f(n)$ 和 \(Y=af(\dfrac{n}{b

二项式定理 Binomial Theorem

组合数公式一 \[\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]公式二 \[\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1} \]公式三 \[\frac1k\binom{n-1}{k-1}=\frac1n\binom nk \]$ \mathbf{Qn1}\quad $证明 \(\displaystyle{\sum_{k=1}^n \binom nk \frac{(-1)^{k+1}}{k}=\sum

斯托克斯定理 Stokes Theorem

\[\int_{\partial M}\omega=\int_M \text d\omega \]斯托克斯公式多么好看呀。先准备一些微分几何的知识。（1）设 $M$ 是豪斯多夫空间（任意不同的两点一定存在不相交的邻域），若对任意一点 $x\in M$，都存在一个邻域同胚于 $n$ 维欧几里得空间 $\R^n$ 的一个开集，则称 $M$ 是一

狄尔沃斯定理(Dilworth's theorem)

狄尔沃斯定理(Dilworth's theorem) 狄尔沃斯定理(Dilworth's theorem)亦称偏序集分解定理，是关于偏序集的极大极小的定理，该定理断言：对于任意有限偏序集，其最大反链中元素的数目必等于最小链划分中链的数目。此定理的对偶形式亦真，它断言：对于任意有限偏序集，其最长链中元素的数目必等

数学1

1. Heine-Borel Theorem compact-->bounded: finite open cover B (xi,1); pick r=max {||x1-xi||}+2 compact-->closed: consider B(y, r); 交open cover (finite) 为空集: r=min{||xi-y||/3} closed & bounded-->compact: -consider set A: {x, [a,x] can be cove

kernel函数解释

整个story可以这么说：那些搞svm，ridge regression的人，发现自己的算法对数据集的效果不好，他们认为这可能是因为数据集线性不可分。另外他们发现他们搞出的式子里，出现的都是两个数据点的内积。他们想，我们要是把原始数据集映射到高维可能就线性可分啦，但是这可是内积啊，而且怎么找映射函

四色定理及其计算机证明

为了黑这个：“OpenAI发文表示，他们已经为Lean创建了一个神经定理证明器，用于解决各种具有挑战性的高中奥林匹克问题，包括两个改编自IMO的问题和来自AMC12、AIME竞赛的若干问题。该证明器使用一个语言模型来寻找形式化命题（formal statement）的证明。” The four color theorem was prove

max-flow min-cut theorem

Max-flow min-cut theorem 目录Max-flow min-cut theoremThe definitions introduceWhat are flows?What are cuts?What's the main theorem?Proof the theorem.How to get the min-cut? Describe the definitions of Max-flow and Min-cut. Prove the Max-flow min-cur t

【Coel.学习笔记】卢卡斯定理（Lucas Theorem）

题前碎语这周要开家长会，回去就要把自选科目选定了。当然选课对我来说没什么（物生地YYDS!），但是选课就意味着要分班，就要和原本实验班的同学说再见了…… $qwq$…… 笔记内容本笔记含有卢卡斯定理。卢卡斯定理卢卡斯定理($Lucas$ $Theorem$，又名$Lucas$定理)是一种用于求解

现代密码学2.4--香农定理/Shannon Theorem

现代密码学2.4--香农定理/Shannon Theorem 香农定理/Shannon Theorem 博主正在学习INTRODUCTION TO MODERN CRYPTOGRAPHY (Second Edition) --Jonathan Katz, Yehuda Lindell，做一些笔记供自己回忆，如有错误请指正。整理成一个系列现代密码学，方便检索。《现代密码学》第一

Theorem，Proposition, Lemma 和 Corollary是什么区别关系

文章中最重要的几个结论用 Prop 或 Thm. 其中有比较普遍意义的（可能被他人引用的）用Thm，比较特定、适用范围不大的用Prop。用来推出这些 Thm 或 Prop 的引理用 Lemma. Theorem：定理。是文章中重要的数学化的论述，一般有严格的数学证明。 Proposition：可以翻译为命题，经过证明且inter

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Problem: Solution: Definition: Remarks: Lemma Theorem 疑问: Assumption: Proof: **Problem:** **Solution:** **Definition:** <font c

【笔记】Polya定理

本文主要参考《Introductory combinatorics》（Richard A. Brualdi，Prentice Hall (2009)）。 Burnside定理（Theorem 14.2.3）令$G$是$X$上的一个置换群，$C$是一个$X$的染色的集合，满足对所有$f$属于$G$，$c$属于$\mathcal C$，有$f*c$属于$C$。那么$N(G,\mathcal C)$，\(

矩阵树定理(Matrix-tree Theorem)

矩阵数定理就是把图的生成树个数与矩阵行列式联系起来的一个定理前置知识矩阵行列式定义假设有一个无向图 $G=(V,E)$ 有 $p$ 个顶点 $q$ 条边对于 $G$ 中每一条边,我们任意指定一个方向,这样我们就可以定义 $G$ 的关联矩阵 $M(G)$, 它是一个 $p\times q$ 的矩阵

latex-cleveref使用

1 cleveref介绍 cleveref包，顾名思义，就是聪明地引用。比如当你定义一个定理(theorem)的标签是\label{thm:firstTheorem}，你使用了 \Cref{thm:firstTheorem} ，latex就会显示theorem xx，如果你使用的是 \ref{thm:firstTheorem} ，latex只会显示xx，theorem需要你自己加上。 cleveref对

定义，公理，定理，引理，推论，命题

参考定义(Definition): 对于一个数学概念精准明确的描述；通过给出一个单词的所有真实的性质来赋予这个单词意义。公理/假定(Axiom/postulate): 不证自明的声明；它是所有定理(Theorem)证明的基石。定理(Theorem)：经过严格的数学推导的声明；在数学论文中，通常指最重要的结果。

【离散数学】 MIT 6.042J 笔记 - Lecture 7 Matching Problems

PDF 文件下载【离散数学】MIT 6.042J - Fall 2010 - Note for Lecture 7 图片效果 LaTeX \LaTeX LATEX 代码 % !TeX spellcheck = en_EN-EnglishUnitedKingdom \documentclass{artic

13_Invariance Principle_LaSalle's Theorem_不变性原理

Proj THUDBFuzz Paper Reading: 南京大学软件分析课程2020, 05 Data Flow Analysis - Foundations I

Iterative algo, Another View Old View: New View: 每次迭代都是状态映射，直到迭代到状态不变为止如果令$X_i$为第i步的状态$（v^i_1, v^i_2, ..., v^i_n)$，映射函数为$F: V^k->V^k$，则$X_{i+1}=F(x_i)$。称满足$X=F(X)$的状态X为F的不动点fixed point。 Partial Order U

Understanding about Baire Category Theorem

Definition (Nowhere dense set) A set $A$ in a topological space $X$ is nowhere dense if the complement of its closure is dense in $X$, i.e. $\overline{(\bar{A})^{\rm c}} = X$. Definition (Set of first category) A set $A$ in a topological space $X$ is o

碰撞检测：Separating Axis Theorem

当代数学的诞生

1929年，哥特德尔完全性定理诞生，开启了当代数学的发展进程。为什么? 根据何在? 有根有据，请见本文附件。袁萌陈启清 6月27日附件: 特德尔24完全性定理内容 Contents 1 Preliminaries 2 Statement 2.1 G?del's original formulation 2.2 More general form 2.3 Model

CAP Theorem

一个分布式系统最多只能同时满足一致性（Consistency）、可用性（Availability）和分区容错性（Partition tolerance）这三项中的两项。 Consistency 一致性是指 “all nodes see the same data at the same time.” 简单地说，执行读操作将返回最近的写操作的值，从而保证所有节