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Lucas定理学习笔记
概念 当 \(p\) 是一个质数时，有 \[\dbinom{n}{m} \bmod p \equiv \dbinom{\lfloor \dfrac{n}{p} \rfloor}{\lfloor \dfrac{m}{p} \rfloor} \times \dbinom{n \bmod p}{m \bmod p} \pmod{p} \]实现 引理： 考虑 \[\dbinom{p}{n} \bmod p \]的取值，注意到展开之后其为如下形式 \[\dbino[模板]Lucas定理及组合数
#include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #define WR WinterRain using namespace std; const long long WR=1001000,mod=10007; long long read(){ long long s=0,w=1; char ch=getchar(); while(ch>'9'||ch<�dls的数论-Lucas定理及扩展
Lucas定理【题解】BZOJ-4176 Lucas的数论
Lucas的数论 Description 给定整数 \(n\)，求 \[\left[\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n d(ij)\right] \bmod (10^9 + 7) \] 对于 \(100\%\) 的数据 \(n\le 10^9\)。 Solution \[\begin{aligned} \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n d(ij) & = \sum_{i = 1}^n \sum_{【题解】BZOJ-4176 Lucas的数论
Lucas的数论 Description 给定整数 n n n，求 [[学习笔记]扩展Lucas定理
我们首先来回顾一下Lucas定理： \(\binom{n}{m} = \binom{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}\binom{n\ mod\ p}{m\ mod\ p}(mod\ p)(p\ is\ prime)\) 其给出了在膜数为质数时，组合数取膜的优秀性质。 其使用的地方为当 \(n,m \geq p\)时。 ll C(ll x,ll y){ i【Coel.学习笔记】卢卡斯定理（Lucas Theorem）
题前碎语 这周要开家长会，回去就要把自选科目选定了。 当然选课对我来说没什么（物生地YYDS!），但是选课就意味着要分班，就要和原本实验班的同学说再见了…… \(qwq\)…… 笔记内容 本笔记含有卢卡斯定理。 卢卡斯定理 卢卡斯定理(\(Lucas\) \(Theorem\)，又名\(Lucas\)定理)是一种用于求解卢卡斯定理/Lucas 定理小结
Lacus 求： \[\Large C_m^n~mod ~p \]则： \[\Large C_m^n~mod~p=C_{\frac{m}{p}}^{\frac{n}{p}} \times C_{m~mod~p}^{n~mod~p}~mod~p \]由于 \(C_{m~mod~p}^{n~mod~p}\) 上下两项都比 \(p\) 小，可以直接套组合数公式。 而前面 \(C_{\frac{m}{p}}^{\frac{n}{p}}\) 可以继续套lucas求解古代猪文--(全是数论QwQ）
题目链接 题意： Sol： 首先当 q q q为 999911659 999911659 999911659时，答案为lucas定理
定义 证明 代码实现 //lucas定理 //1.qpow,阶乘(init) //2.lucas //3.组合排列C(nm) #include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std ; const int mod = 110119 ; ll jc[mod+1],nc[mod+1] ; ll qpow(ll x,int k) { ll base = 1 ; while(k) {关于数论的一些知识
1.组合数取膜（Lucas定理） 求 C n m %Lucas定理
若P为质数，则对于任意整数1<=m<=n，有： C (n,m) = C (n%p, m%p) • C (n/p, m/p) (mod p) 相当于把n, m表示成p进制数，对P进制每一位计算组合数再相乘 时间复杂度：O() ll ksm(ll a,ll b){...} ll C(ll n,ll m) { if(m>n) return 0; ll a=1,b=1; if(m>n-m) m=n-m;//C(n,m)=C卢卡斯定理
卢卡斯定理 \(\text{Lucas}\) 定理 P3807 【模板】卢卡斯定理/Lucas 定理 定义： 对于质数模数 \(p\) ，满足以下定理： \[\dbinom{n}{m} \mod{p}\equiv \dbinom{\left\lfloor n/p\right\rfloor}{\left\lfloor m/p\right\rfloor}\times\dbinom{n\%p}{m\%p}\mod{p} \]最终 \(\dbinom{n}{mSaving Beans HDU - 3037（卢卡斯定理）
Saving Beans HDU - 3037（卢卡斯定理） 题意： 他们想知道有多少种方法可以在n树中保存不超过m个bean（它们是相同的）。 现在他们求助于你，你应该给他们答案。 结果可能非常巨大; 你应该输出模p的结果，因为松鼠无法识别大数。 1 <= n，m <= 1000000000,p保证是一个素数 题解： 得到公式为：C(Lucas（卢卡斯）定理
定义 若 \(p\) 为质数，且\(a\ge b\ge1\)，则有： \[C_{a}^{b}\equiv C_{a/p}^{b/p}\cdot C_{a (mod\,p)}^{b(mod\,p)} \]拆分a与b 按照 \(p\) 进制拆分 \(a\) 与 \(b\) ,设 \(a\) 与 \(b\) 是 \(k\) 位，不足用 \(0\) 补足。 \[\left\{\begin{aligned} a&=a_0p^{0}+a_1p^{1}扩展lucas+容斥
扩展lucas+容斥 给出一个方程x1+x2+x3+………xn=m 现在给出两种制约。 制约1：对于前解的前N1个数字，有制约xi<=a[i]; 制约2：对于从N1+1到N1+2的数字，有制约xi>=a[i] 思路：对于制约2，比较好处理，在等式两边同时减去a[i]-1，使得有xi>=1，那么问题转化成了m-c个小球放进n个盒子的问题。然系数 题解(lucas+思维)
题目链接 题目思路 这个题目的关键就是 答案模3 要利用这个来突破 令\(y=x^2+x+1\) 则\(y^n=(y+3x)^n\) 因为\((y+3x)^n=C_n^0y^n+C_n^1y^{n-1}(3x)^1+C_n^2y^{n-2}(3x)^2.....\) 显然只有\(C_n^0y^n\mod 3\ne 0\) 那么就可以得证 则\((x^2-2x+1)^n=(x-1)^{2n}\) 那么\(ans=C_{2n}Lucas学习笔记
1. 前置知识 扩展欧几里得：对于不完全为\(0\)的非负整数\(a,b\)，\(\gcd(a,b)\)表示\(a,b\)的最大公约数，必然存在整数对\(x,y\)使得\(\gcd(a,b)=ax+by\)。 费马小定理:\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\) 逆元： 求解公式\((a/b)\% p\)时，因\(b\)可能会过大，会出现爆精度的情况，所以需变除法为Lucas-Kanade optical flow method for 3-D源码程序——三维LK光流提取算法
function [ux,uy,uz]=LK3D( image1, image2, r ) %This function estimates deformations between two subsequent 3-D images %using Lucas-Kanade optical flow equation. % % Description : % % -image1, image2 : two subsequent images or frames % -r :「CTSC2017」吉夫特【Lucas 定理】【状压DP】
传送门 solution 由\(Lucas\)定理： \[\binom xy\equiv\binom{x\%2}{y\%2}\binom{x/2}{y/2}\pmod 2 \]也就相当于设\(x_i,y_i\)分别是\(x,y\)二进制下的第\(i\)位 那么： \[\binom xy\equiv\prod_{i}\binom{x_i}{y_i}\pmod 2 \]因为\(x_i,y_i\in{{0,1}}\)，所以只有\(\binom{x_i}{bzoj4176 - Lucas的数论（杜教筛，莫比乌斯反演）
题目 求 \(\sum\limits^n_{i=1}{\sum\limits^n_{J=1}{f(ij)}}\) \(f(x)\)为x的约数个数 题解 题解 #include <iostream> #include <algorithm> #include <cstdio> #include <cstring> #include <unordered_map> using namespace std; const int N =BZOJ-2142 礼物(扩展Lucas定理)
题目描述 \(n\) 件礼物，送给 \(m\) 个人，其中送给第 \(i\) 个人礼物数量为 \(w_i\)。计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同），答案对 \(p\) 取模。 数据范围：\(1\leq n\leq 10^9,1\leq m\leq 5\)，\(p\) 不一定是质数。 exLlucas 定理
定义 百度百科的这个 C(n,m)=C(n%p,m%p)*C(n/p,m/p)%p p为素数 或者维基百科的这个 \(C(n,m)=\prod_{i=0}^kC(n_i,m_i) \;(mod\;p)\) \(m=m_kp^k+m_{k-1}p^{k-1}+.....+m_1p+m_0\) \(n=n_kp^k+n_{k-1}p^{k-1}+.....+n_1p+n_0\) 两个显然本质是一样的 证明 首先要明白p为质数，且0<lucas+CRT
lucas+CRT #10229. 「一本通 6.6 例 4」古代猪文 题目是要求\(g^{\sum{C_{n}^{n/i}}}\) % 999911659;(i能整除n) 模数是质数，phi[999911659] = 999911658, 根据欧拉降幂，g的幂数可以%phi[999911659],由于此时的模数不是一个质数，然后就想着用exlucas来求，但是亲测这样会TLE，所以就只能lucas定理
lucas定理 快速求组合数取模 注：mod是少于1e5的质数 核心代码 //C(n, m) % mod LL lucas(LL n, LL m, LL mod) { if(m == 0) return 1LL; return (C(n % mod, m % mod, mod) * lucas(n / mod, m / mod, mod)) % mod; } //关于C(n % mod, m % mod) % mod，可以这样求 //第一种