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Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arccot)
2.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\text{arccot}}(ax)\cdot {\text{arccot}}(bx)\ dx={\frac {\pi }{2}}\left[{\frac {1}{a}}\log \left({\frac {a+b}{b}}\right)-{\frac {1}{b}}\log \left({\frac {a+b}{a}}\right)\right]\qquadFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Gamma)
3.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(\alpha -ix)^{n}\,\Gamma (\beta +ix)\,dx={\frac {2\pi }{e}}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,(\alpha +\beta )^{k}\,\phi _{n-k}(-1)} ohne Beweis 4.1Bearbeiten {\displaystyle {Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,LambertW)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\infty }W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)dx={\sqrt {2\pi }}} Beweis In der Formel {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\right]^{\alpha }dx=\alpha \cdot 2^{\aFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,exp,sin)
1.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{2}\,e^{-2ax}\,dx=a\,\log \left({\frac {a}{\sqrt {1+a^{2}}}}\right)+\operatorname {arccot} a} ohne Beweis 2.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,exp,arctan)
1.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan \left({\frac {x}{z}}\right)}{e^{2\pi x}-1}}\,dx={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {z!\,e^{z}}{z^{z}\,{\sqrt {2\pi z}}}}\right)\qquad {\text{Re}}(z)>0} Beweis (ZweiteFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,exp,erf)
1.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\text{erf}}^{\;2}\left({\sqrt {x}}\,\right)\,e^{-ax}\,dx={\frac {4}{a\pi }}\cdot {\frac {\operatorname {arccot} {\sqrt {1+a}}}{\sqrt {1+a}}}\qquad {\text{Re}}(a)>0} Beweis {\dispFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,exp)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}} 1. Beweis {\displaystyle I^{2}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)\,\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy\right)=\inFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,sin)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {x}{\sin x}}\,dx=2G} Beweis {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {x}{\sin x}}\,dx} ist nach Substitution {\displaystyle x\mapsto 2\arctan x} gleich {\displaysFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,tan)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\pi }x\,\tan x\,dx=-\pi \,\log 2} Beweis Setzt man {\displaystyle f(z)=z\,\tan z}, so ist{\displaystyle \int _{C_{\varepsilon }}f\,dz+\int _{K_{\varepsilon }}f\,dz+\int _{D_{\varepsilon }}fFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,sinh)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,{\frac {x}{\sinh \pi x}}\,dx=2\log 2-1} ohne Beweis (Abels Integral) 1.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{\sinh x}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arctan)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx=G} Beweis Benutze die Reihenentwicklung {\displaystyle \arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}}.{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\arctan x