首页 > TAG信息列表 > Integrale
Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,artanh)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {{\text{artanh}}\,x\,\,\log x}{x\,(1-x)\,(1+x)}}\,dx=-{\frac {1}{16}}{\Big (}7\zeta (3)+2\pi ^{2}\log 2{\Big )}} Beweis {\displaystyle {\text{artanh}}\,x={\frac {1}{2}}\cdot \logFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,Gamma)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma (x)\,dx=\log {\sqrt {2\pi }}} 1. Beweis {\displaystyle 2\int _{0}^{1}\log \Gamma (x)\,dx=\int _{0}^{1}\log \Gamma (x)\,dx+\int _{0}^{1}\log \Gamma (1-x)\,dx=\int _{0}^{1}\logFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,sin,cos)
1.1Bearbeiten {\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {2}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos(z\cos x)\,\sin ^{2\nu }x\,dx\qquadFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arccot)
2.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\text{arccot}}(ax)\cdot {\text{arccot}}(bx)\ dx={\frac {\pi }{2}}\left[{\frac {1}{a}}\log \left({\frac {a+b}{b}}\right)-{\frac {1}{b}}\log \left({\frac {a+b}{a}}\right)\right]\qquadFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Gamma)
3.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(\alpha -ix)^{n}\,\Gamma (\beta +ix)\,dx={\frac {2\pi }{e}}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,(\alpha +\beta )^{k}\,\phi _{n-k}(-1)} ohne Beweis 4.1Bearbeiten {\displaystyle {Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Ci)
2.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\text{Ci}}(ax)\,{\text{Ci}}(bx)\,dx={\frac {1}{\max\{a,b\}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\qquad a,b>0} Beweis In der Formel{\displaystyle \int {\text{Ci}}(ax)\,{\text{Ci}}(bx)\,dx=x\,Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,LambertW)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\infty }W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)dx={\sqrt {2\pi }}} Beweis In der Formel {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\right]^{\alpha }dx=\alpha \cdot 2^{\aFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,exp,sin)
1.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {\sin x}{x}}\right)^{2}\,e^{-2ax}\,dx=a\,\log \left({\frac {a}{\sqrt {1+a^{2}}}}\right)+\operatorname {arccot} a} ohne Beweis 2.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,exp,cos)
1.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,\cos(2ax)\,dx={\sqrt {\pi }}\cdot e^{-a^{2}}\qquad a\in \mathbb {C} } 1. Beweis Verwende die Reihenentwicklung {\displaystyle \cos(2ax)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,exp,arctan)
1.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan \left({\frac {x}{z}}\right)}{e^{2\pi x}-1}}\,dx={\frac {1}{2}}\log \left({\frac {z!\,e^{z}}{z^{z}\,{\sqrt {2\pi z}}}}\right)\qquad {\text{Re}}(z)>0} Beweis (ZweiteFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,exp,erf)
1.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\text{erf}}^{\;2}\left({\sqrt {x}}\,\right)\,e^{-ax}\,dx={\frac {4}{a\pi }}\cdot {\frac {\operatorname {arccot} {\sqrt {1+a}}}{\sqrt {1+a}}}\qquad {\text{Re}}(a)>0} Beweis {\dispFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\log \left(2\sin {\frac {x}{2}}\right)dx=-G} Beweis Verwende die Fourierreihe {\displaystyle -\log \left(2\sin {\frac {x}{2}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos nx}{n}}}.Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,cos)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\log \left(\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx=-\pi \log 2} Beweis Aus der Fourierreihendarstellung {\displaystyle \log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{1}\log \left(\tan {\frac {\pi x}{2}}\right)\,dx=0} ohne Beweis 0.2Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\log ^{2}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)dx={\frac {\pi ^{3}}{4}}} Beweis DiFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x)
1.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1-x^{z-1}}{1-x}}\,dx=\gamma +\psi (z)\qquad {\text{Re}}(z)>0} Beweis (Formel nach Gauß) {\displaystyle {\frac {1-x^{z-1}}{1-x}}=\sum _{k=1}^{\infty }\left(x^{k-1}-x^{k+z-2}\right)}{\dFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,exp)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}} 1. Beweis {\displaystyle I^{2}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)\,\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy\right)=\inFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\log(1+x)-\log 2}{1+x^{2}}}\,dx=-{\frac {\pi }{8}}\log 2} ohne Beweis 0.2Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\log(1+x)-\log 2}{1-x^{2}}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,sin)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {x}{\sin x}}\,dx=2G} Beweis {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {x}{\sin x}}\,dx} ist nach Substitution {\displaystyle x\mapsto 2\arctan x} gleich {\displaysFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,cos)
1.1Bearbeiten {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{n-i\infty }^{n+i\infty }{\frac {\pi }{x\,\cos \pi x}}\,dx=2\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\qquad n\in \mathbb {Z} ^{>0}} ohne Beweis 1.2Bearbeiten {\displFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,tan)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{\pi }x\,\tan x\,dx=-\pi \,\log 2} Beweis Setzt man {\displaystyle f(z)=z\,\tan z}, so ist{\displaystyle \int _{C_{\varepsilon }}f\,dz+\int _{K_{\varepsilon }}f\,dz+\int _{D_{\varepsilon }}fFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,sinh)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}\,{\frac {x}{\sinh \pi x}}\,dx=2\log 2-1} ohne Beweis (Abels Integral) 1.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{\sinh x}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\arcsin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\,\log 2} Beweis {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\arcsin x}{x}}\,dx} ist nach der Substitution {\displaystyle x\mapsto \sin x} gleich {\displayFormelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arctan)
0.1Bearbeiten {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx=G} Beweis Benutze die Reihenentwicklung {\displaystyle \arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}}.{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\arctan x