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数学-求组合数 III - 卢卡斯定理

c++ AcWing 887. 求组合数 III /* * 题目描述: * AcWing 887. 求组合数 III * 给定 n 组询问，每组询问给定三个整数 a,b,p，其中 p 是质数，请你输出 C(a, b) mod p 的值。 * 输入格式: * 第一行包含整数 n。 * 接下来 n 行，每行包含一组 a,b,p。 *

[模板]扩展卢卡斯定理

#include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<cmath> #define WR WinterRain using namespace std; const long long WR=10010; long long n0,m0,w[WR],mod; long long a[WR],b[WR]; long long res=1; long long read(){ long

卢卡斯定理

卢卡斯定理就是解决组合数模p的问题的： \[C_{n}^{m}\mod p \]那么卢卡斯定理究竟是如何解决的呢？ 首先，将\(n\)，\(m\)写成\(k\)进制数 \[n= \left (a_{k}a_{k-1}……a_{1} \right )_{p} \]\[m= \left (b_{k}b_{k-1}……b_{1} \right )_{p} \]卢卡斯定理： \[C_{n}^{m}\mod p=\prod_{i=

扩展卢卡斯定理(exLucas)学习笔记

-1.前言 总算是把扩展卢卡斯定理学会了，写一篇学习笔记吧。 0.前置知识 扩展欧几里得 中国剩余定理 （不需要学会卢卡斯定理） 1.算法介绍 扩展卢卡斯，顾名思义，是卢卡斯定理的扩展。卢卡斯定理可以求\((^m_n)\mod p\)，但\(p\)要是质数。但如果\(p\)是合数呢？这就要使用扩展卢卡斯定理了

【Coel.学习笔记】卢卡斯定理（Lucas Theorem）

题前碎语 这周要开家长会，回去就要把自选科目选定了。 当然选课对我来说没什么（物生地YYDS!），但是选课就意味着要分班，就要和原本实验班的同学说再见了…… \(qwq\)…… 笔记内容 本笔记含有卢卡斯定理。 卢卡斯定理 卢卡斯定理(\(Lucas\) \(Theorem\)，又名\(Lucas\)定理)是一种用于求解

（扩展）卢卡斯定理

卢卡斯定理 结论 \[{n \choose m} \equiv {\lfloor \frac{n}{p} \rfloor \choose \lfloor \frac{m}{p} \rfloor} \cdot {n \bmod p \choose m \bmod p} \pmod p \]其中 \(p\) 为质数。 证明 引理 \(1\) \[{p \choose n} \equiv \frac{p!}{(p - n)! \cdot n!} \pmod p

卢卡斯定理/Lucas 定理小结

Lacus 求： \[\Large C_m^n~mod ~p \]则： \[\Large C_m^n~mod~p=C_{\frac{m}{p}}^{\frac{n}{p}} \times C_{m~mod~p}^{n~mod~p}~mod~p \]由于 \(C_{m~mod~p}^{n~mod~p}\) 上下两项都比 \(p\) 小，可以直接套组合数公式。 而前面 \(C_{\frac{m}{p}}^{\frac{n}{p}}\) 可以继续套lucas求解

【数学】卢卡斯定理

给定 \(n,m,p\)，其中 \(n,m\) 较大，\(p\) 为质数且不是很大，求 \[\dbinom{n}{m}\bmod p \]\(\rm Lucas\) 定理 \[\dbinom{n}{m}\equiv\dbinom{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor}{\left\lfloor\frac{m}{p}\right\rfloor}\cdot \dbinom{n\bmod p}{m\bmod p}

卢卡斯定理

卢卡斯定理 \(\text{Lucas}\) 定理 P3807 【模板】卢卡斯定理/Lucas 定理 定义： 对于质数模数 \(p\) ，满足以下定理： \[\dbinom{n}{m} \mod{p}\equiv \dbinom{\left\lfloor n/p\right\rfloor}{\left\lfloor m/p\right\rfloor}\times\dbinom{n\%p}{m\%p}\mod{p} \]最终 \(\dbinom{n}{m

排列组合（卢卡斯定理）

终终终.......于要对组合数学下手了 我们来看一下这个 （在a个苹果中选出b个苹果）  根据以上两种情况： 我们可以得到这个递推式： 我们知道，那么任何一个都可以由更小的递推出来，直接上代码： void init() { for (int i =0; i < N; i ++ ) { for (int j = 0; j <= i; j

卢卡斯

先给一份洛谷模板题的代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define lowbit(x) x&-x #define ll long long #define pii pair<ll,ll> #define dob double #define For(i,s,n) for(ll i = s;i <= n;i++) #define mem0(a) memset(a,0,sizeof a) #define gc

P3807 卢卡斯定理(模板)

传送门 给定整数 n, m, p 的值，求出 C((m+n),n) mod p 的值。 输入数据保证 p 为质数。 注: C 表示组合数。   AC代码: #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn = 10000005; const int inf = 0x3f3f3f3f; const int mod

Lucas（卢卡斯）定理

定义 若 \(p\) 为质数，且\(a\ge b\ge1\)，则有： \[C_{a}^{b}\equiv C_{a/p}^{b/p}\cdot C_{a (mod\,p)}^{b(mod\,p)} \]拆分a与b 按照 \(p\) 进制拆分 \(a\) 与 \(b\) ,设 \(a\) 与 \(b\) 是 \(k\) 位，不足用 \(0\) 补足。 \[\left\{\begin{aligned} a&=a_0p^{0}+a_1p^{1}

杂文：证明卢卡斯定理

杂文：证明卢卡斯定理 符号 \(\binom{n}{m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}\)，组合数 定理 众所周知的卢卡斯定理： \[\binom{n}{m}\equiv \binom{n\mod p}{m\mod p}\times \binom{n/p}{m/p} \pmod{p} \]证明 一些很 trival 的引理 \(\binom{p}{i}\equiv 0\pmod{p},0<i<p\) 拆开它，等于：\(\dfrac

#组合计数，卢卡斯定理#D 三元组

题目 当\(z=0\)时，\(f(x,y,z)=1\)， 否则 \[f(x,y,z)=\sum_{x1=1}^x\sum_{y1=1}^y(x-x1+1)(y-y1+1)f(x1,y1,z-1) \]求 \[\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^mf(x,y,k) \]对998244353取模，\(n,m,k\leq 10^18\) 分析 考时发现将\(f(1,1)=1\)后跑\(2k+2\)次前缀和后\(f(n,m)\)就是答案， 所以题目就

卢卡斯定理&扩展卢卡斯(Lucas)

卢卡斯定理&拓展卢卡斯 部分资料来自： 1.https://blog.csdn.net/qq_40679299/article/details/80489761 2.https://www.luogu.com.cn/problemnew/solution/P3807 本文章中，排列组合C(n,m)表示，n中取m个，不考虑顺序 前置芝士~： 1）乘法逆元 如果ax≡1 (mod p),且gcd(a,p)=1（a与p互质），则

卢卡斯定理模板

3.卢卡斯定理 可用于求组合数mod p的值，其公式为： \[ C_{n}^{k}=(C_{\frac{n}{p}}^{\frac{k}{p}}*C_{n\%p}^{k\%p})\% p \] 上模板： #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 2e5 + 10; typedef long long ll; int T; ll n, m, p; ll j[N]; ll pow(ll a, ll b,

卢卡斯(Lucas)定理

问题 洛谷 题目地址 给你正整数 \(n,m,p\)，其中 \(p\) 是质数。求 \(\dbinom{n}{m} \% p\)（\(\dbinom{n}{m}\) 是组合数，表示 \(n\) 选出 \(m\)）。 Lucas定理结论 若 \(p\) 是质数，则对于任意整数 \(1 \le m \le n\)，有： \[\dbinom{n}{m} \equiv \dbinom{n\%p}{m\%p} *　\dbinom{n/p}{m/p

红砖美术馆

  ——展览概况—— 莎拉·卢卡斯 Sarah Lucas 展期：2019年11月2日—2020年2 月16日 开幕：2019年11月1日 策展人：闫士杰 主办：北京红砖美术馆         红砖美术馆公共空间的交流性研究 http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-YSKK201910144.htm   莎拉·卢卡斯 https://baik

组合数学(费马小定理+卢卡斯定理)模板

组合数取模（费马小定理） #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int G = 1000000; #define mod 1000000007 ll pri[G]; ll ni[G]; ll pow(ll a,ll b,ll m){ ll ans = 1; a %= m; while(b){ if(b&1)ans=(ans%m)*(a%m

扩展(bsgs+卢卡斯）(bzoj3283)

传送门 模板题不解释 #include<bits/stdc++.h>#define LL long long using namespace std;int read(){ int x=0,f=1;char s=getchar(); while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();} while(s>='0'&&s

浅谈卢卡斯定理

模板题在这里 卢卡斯定理适用于求解组合数取模，而且模数为质数且不大的情况。 具体地，卢卡斯定理可以这样表示 $$C_n^m\mod p=C_{n/p}^{m/p}*C_{n\mod p}^{m\mod p}\mod p$$ 我们首先预处理出一个阶乘数组，一个mod p的逆元数组，当数值较小时，我们可以直接使用组合数的计算公式$C_n^m=\fr

浅谈卢卡斯定理（非扩展）

对于组合数，往往要用到阶乘，但是阶乘的数据极其之大，所以要用取模的办法防止数据溢出。 而卢卡斯定理在这个时候就有很大的用处了，来看百度百科上的简介。 代码如下 Luogu P3807 #include<bits/stdc++.h>using namespace std;int T; int n,m,p;long long ksm(long long a,long long

[笔记] 扩展卢卡斯

对于一般的卢卡斯定理，要求 $C_n^m\space mod \space P$中的$ p $为质数； 而扩展卢卡斯，是解决$P$不为质数时的问题，因为$P$不是质数时，很多模意义下的的除法是做不了的（没有逆元）； 首先对$P$按算术基本定理分解 $ P = \Pi p_i^{c_i} $ 对下面这个进行中国剩余定理合并，便是答案 ${x_1} \equ