提要

在前面的话

• 一次函数是函数领域最具有代表性，也是最简单的函数。
• 反比例函数同样具有代表性的函数体。
  二者具有类似的性质，反比例函数与一次函数相结合能够碰撞出多种变化的规律与结论。因此，对于函数领域的研究，有必要从一次函数、反比例函数、一次函数与反比例函数结合体探究起。

计划分布

通过剖析函数定义，解读一次函数，解读反比例函数，进而理解二者性质。然后进行二者结合的研究

Path

• 理解函数定义
• 理解一次函数及图像
• 理解反比例函数及图像
• 初步一次函数与反比例函数结合
• 研究一次函数与反比例函数图像结合

函数（Founction）

代数定义

“设x和y是两个变量，D是一个给定的数集。如果对于每个数x∈D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应。则称y是x的函数，记作y=f(x).数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。”（《高等数学》，同济大学数学研究室主编，1995年3月第16次印刷）
类似地，对应值y的数集R叫做这个函数的值域

解析

• 定义给出了7个名词：变量、数集、函数、定义域、值域、自变量、因变量。

1. 变量的给出，代表函数不是一个确定的等式，而是可变的等式
2. x所属的数集D，并没有给出具体限制，所以D可以包含任意数（或集合）。——在遇到函数问题时，应时刻注意数集D的给定区间。
3. 函数是“对于x而言连续”的。即对于数集D内每个x值，y都必须有相应的确定的数值对应。故“y对于x而言连续”是判断函数的一个必要条件
4. 定义域定义的给出，并不十分严谨，如果该数集为空，实际情况而言是不符合函数定义的...——所以尽量不要较之，还是更多联系函数产生的目的
5. 因为y只要按照“一定法则”对于x做运算即可，所以数集R同样不一定连续分布在数轴上。——注意：函数运用较多的，定义域是区间，因此元素x更多时候是连续分布在数轴上的。但是数集R则情况不定——>例如将要研究的反比例函数，值域的所有元素不是连续分布在数轴上。
6. 自变量和因变量则...读者自悟

“函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可以改用其他字母，例如“F” “G”等等。这时函数就记作y=F(x),y=G(x)。”（同上）

图形

“设函数y=f(x)的定义域为D，对于任意取定的x∈D，对应的函数值为y=f(x).这样，以x为横坐标、y为纵坐标就在xOy平面上确定一点(x,y).当x遍取D上的每一个数值时，就得到点(x,y)的一个集合C：

\[C=\{(x,y)｜y=f(x),x\in D\} \]

这个点C成为函数y=f(x)的图形。
”
见配图1-1

一次函数

定义
形如 f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)的函数叫做一次函数。

...挺离谱的一个形式定义，不过言简意赅，可以很直接地通过定义理解一次函数：

一次函数性质

• 一次函数在x∈(-∞,∞)内无界，定义域D在D={a|a∈[m,n]|m,n∈R}内有界。
• 一次函数具有单调性。当常量k∈(0,∞)时，一次函数在x∈(-∞,∞)上单调增加；当常量k∈(-∞,0)时，一次函数在x∈(-∞,∞)上单调减少。
• 当b=0时，一次函数为奇函数

一次函数一般图像

见配图2-1
由此可得：当b≠0时，一次函数图像经过三个象限；当b=0时，一次函数图像经过(0,0).经过两个象限。
更多地：k∈(0,∞)，b∈(0,∞)时，一次函数图像经过第一、二、三象限，不经过第四象限。k∈(-∞,0),b∈(0,∞)时，一次函数图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限。k∈(0,∞)，b∈(-∞,0)时，一次函数图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限。k∈(-∞,0)，b∈(-∞,0)时，一次函数图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限。b=0时，k∈(0,∞)时，一次函数图像经过第一、三象限；k∈(-∞,0)时，一次函数图像经过第二、四象限。
见配图2-2

一次函数的一些规律

• 斜率=常量k
  • 设f(x)=kx+b.那么f'(x)=k。
  • 图像与x、y轴夹角不变。
  • 线性函数，给定图像上任意两点即可作出该一次函数⇔给定C内任意两个元素，即能求出对应的一次函数解析式
• 定义域和值域都可以取任意实数
• ！图像过点P(0,b)点和点Q(-b/k,0)！⇔ PQ所在直线即为该一次函数图像
• |k|越大，图像与x轴夹角越接近90°；|k|越小，图像与x轴夹角越接近0°

反比例函数

标签：函数,象限,一次函数,反比例,数集,图像,解析
来源： https://www.cnblogs.com/CYBnotFunny/p/14811245.html