首先将一个矩阵和一个多项式对应起来（矩阵的多项式，矩阵的零化多项式，相似的矩阵对应零化多项式有相同的最小多项式[https://zhidao.baidu.com/question/273308991.html]）

矩阵与对角化

两个相似的矩阵就是同一个线性映射在两组不同基底下的矩阵；寻找空间 中一个合适的基，使得映射在这个基下对应于一个对角矩阵

空间太大，处理起来麻烦。分解成直和后，就可以先在小范围处理再逐步扩展到原空间。但是很多时候还得保证我们处理后的结果不会“溢出”，这就要求不变子空间。

典型用处就是线代里的矩阵对角化。常微分方程里一个用处是寻找线性微分方程组的通解，当然本质上还是矩阵对角化。

名词解释：

特征子空间：特征值对应的子空间

特征子空间(characteristic subspace)是一类重要的子空间，即对应于线性变换的一特征值的子空间。设V是域P上的线性空间，σ是V的一个线性变换，σ的对应于特征值λ₀的全体特征向量与零向量所成的集合。

不变子空间：线性变换不改变的子空间

不变子空间亦称稳定子空间，又称平凡子空间，与线性变换有关的一种子空间。设σ是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的子空间，若对W中的任意一个向量α，σ(α)也属于W，则称W是σ的不变子空间或称σ子空间。σ的值域与核以及σ的特征子空间等都是σ的不变子空间，有限维的复线性空间的所有的线性变换都有一维不变子空间，有限维实线性空间的线性变换都有一维或二维不变子空间，特别地，奇数维的实线性空间的每一个线性变换都有一维的不变子空间。

线性映射的特征子空间全部都是该映射的不变子空间。

若当标准型就是不变子空间分解

像与核一定是不变子空间：

像：首先线性变换不能升维，三维空间中的任何向量变到另一个同等或更低维度的空间，一定属于三维空间
核：在向量或矩阵的加法下核即映为零向量的向量，也就是T(核中的向量)=T(ker（T）)=0，0属于核中的向量组成的空间

如何找到更多的不变子空间，使不变子空间的“和”能覆盖全空间？

如果 AB=BA，那么ker(B)也会是A不变子空间！线性变换及矩阵可交换的性质与应用_高明
又： T ∗ f ( T ) = f ( T ) ∗ T → k e r ( f ( T ) ) 维 不 变 子 空 间 T*f(T)=f(T)*T\rightarrow ker(f(T))维不变子空间 T∗f(T)=f(T)∗T→ker(f(T))维不变子空间
思考： 有 没 有 k e r ( f ( T ) ) 对 应 原 空 间 ？ 这 样 k e r ( f ( T ) ) 覆 盖 了 整 个 全 空 间 ， 全 空 间 都 是 A 的 不 变 子 空 间 有没有ker(f(T))对应原空间？\\ 这样ker(f(T))覆盖了整个全空间，全空间都是A的不变子空间 有没有ker(f(T))对应原空间？这样ker(f(T))覆盖了整个全空间，全空间都是A的不变子空间

哈密顿凯莱定理

使 f （ T ） = 0 的 λ 的 多 项 式 f （ λ ） 称 为 矩 阵 A 的 零 化 多 项 式 , n 阶 方 阵 T 的 特 征 多 项 式 为 T 的 一 个 零 化 多 项 式 使f（T）=0的λ的多项式f（λ）称为矩阵A的零化多项式,\\n阶方阵T的特征多项式为T的一个零化多项式 使f（T）=0的λ的多项式f（λ）称为矩阵A的零化多项式,n阶方阵T的特征多项式为T的一个零化多项式

如何应用Hamilton-Caylay定理将线性空间V按特征值分解成不变子空间的直和？

数学中的不变子空间问题

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