理解相似矩阵

相似矩阵(similar matrices)

定义

设\(A,B\)都是\(n\)阶矩阵，若有可逆矩阵\(P\),使得\(P^{-1}AP=B\),则称\(B\)是\(A\)的相似矩阵。

两个相似矩阵的特征值相同，也就是说如果一个矩阵和一个对角矩阵\(\Lambda\)

\[\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda_{1}} & {} & {} & {} & {} \\ {} & {} & {\lambda_{2}} & {} & {} \\ {} & {} & {} & {} & {} \\ {} & {} & {} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {} & {} & {\lambda_{n}}\end{array}\right]\]

相似,则\(\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}\)时\(A\)的n个特征值。

理解相似矩阵

相似矩阵的本质就是说通过相似变换能够把在不同基下的元素还原到另一个基空间下。还是很混乱是不是，没关系我们看下面的例子就很好理解了：

如下图示有两个不同的基空间，左边是由\(\overrightarrow{i_{1}},\overrightarrow{j_{1}}\)定义的空间，右边是由\(\overrightarrow{i_{2}},\overrightarrow{j_{2}}\)定义的空间，很显然两个空间上的\(m\)点都是同一个点(\(n\)也一样)，唯一区别就是它的坐标因为基不一样而不同。就好像同一个事物从不同角度看是不一样的，但是事实上它就是一个东西。

另外我们知道矩阵的本质可以理解成线性变换（细节可以阅读理解矩阵），因此右边的坐标系可以通过左乘一个（注意必须是左乘）矩阵\(P\)得到左边的坐标系，那么也就是说\(m\)点在右图中的矢量表示是\(\overrightarrow{v_2}\),通过做成一个矩阵\(P\)后就能够变换到左边坐标系下。

在左图中，\(n\)点是\(m\)点经过矩阵\(A\)的变换后得到的点，而对应到由图则是经过矩阵\(B\)变换后得到的。同理按照上面\(m\)点的变换我们可以有如下变换式子：

\[\begin{align} \text{for point n}: A\overrightarrow{v_1} &= PB\overrightarrow{v_2} \notag \\ &=PBP^{-1}\overrightarrow{v_1} \notag \\ \Rightarrow A=PBP^{-1}    \notag \\ \Rightarrow P^{-1}AP=B    \notag \\ \end{align} \]

标签：overrightarrow,变换,矩阵,相似矩阵,notag,理解,lambda
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