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[poi2011]bzoj 2277 —— strongbox·[洛谷3518]

作者:互联网

·问题描述·

  有一个密码箱,0到n-1中的某些数是它的密码。且满足:如果a和b都是它的密码,那么(a+b)%n也是它的密码。某人试了k次密码,前k-1次都失败了,最后一次成功。

  问:该密码箱最多有多少个密码?

·输入格式·

  输入第一行两个整数分别表示n,k。

  第二行为k个用空格隔开的非负整数,表示每次试的密码。(数据保证存在合法解)

·输出格式·

  输出一行一个数,表示结果。

·输入样例·

42 5

28 31 10 38 24

·输出样例·

14

·数据范围·

对于100%的数据:1<=k<=250000,k<=n<=10^14。

 

Solution:

  本题考察数学。由题意可知,若x为密码则(x+x)%n为密码,则p*x%n(0<p<n)也为密码。而对于p*x%n=q,等价于p*x-n*c=q。

  由引理:a*x+b*y=c(均为整数),有整数解的充要条件是gcd(a,b)|c。证明很容易:不妨设a=p*gcd(a,b),b=q*gcd(a,b) --> a*x+b*y=(p+q)*gcd(a,b)=c,显然要有整数解,则gcd(a,b)|c。

  回到本题的条件:p*x-n*c=q。有解则必定满足gcd(x,n)|q,所以必定有p*x-n*c=gcd(x,n)成立,等价于p*x%n=gcd(x,n),则gcd(x,n)一定为一个密码。类似的,对于不同的密码x和y,存在(p*x+q*y)%n为密码,由引理必定存在p*x+q*y=gcd(x,y),与单个x是密码同理gcd(x,y)一定是密码。

  而要使得密码最多,由x是密码则p*x%n(0<p<n)为密码可知,当x为最小时,密码最多有n/x个。

  具体实现时,我们先求出a[k]=gcd(a[k],n),再使a[i]=gcd(a[i],a[k]),然后从新的a[k]中删去所有是a[i]因子的因子,最后输出答案就是n除以没被删的最小的因子。

代码:

 

 1 /*数学一本通上的例题——by 520*/
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 #define il inline
 4 #define ll long long
 5 using namespace std;
 6 ll n,k,tot,a[250005],q[250000],p[250000],cnt=1;
 7 il ll gi(){
 8     ll a=0;char x=getchar();bool f=0;
 9     while((x<'0'||x>'9')&&x!='-')x=getchar();
10     if(x=='-')x=getchar(),f=1;
11     while(x>='0'&&x<='9')a=a*10+x-48,x=getchar();
12     return f?-a:a;
13 }
14 il ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
15 int main()
16 {
17     freopen("strongbox.in","r",stdin);
18     freopen("strongbox.out","w",stdout);
19     n=gi(),k=gi();
20     for(int i=1;i<=k;i++)a[i]=gi();
21     a[k]=gcd(a[k],n);
22     for(int i=1;i<k;i++)a[i]=gcd(a[k],a[i]);
23     for(ll i=1;i*i<=a[k];i++)
24         if(a[k]%i==0){
25             q[++tot]=i;
26             if(i*i!=a[k])q[++tot]=a[k]/i;
27         }
28     sort(q+1,q+tot+1);
29     for(int i=1;i<k;i++)p[lower_bound(q+1,q+tot+1,a[i])-q]=1;
30     for(int i=1;i<=tot;i++)
31         if(p[i])
32             for(int j=1;j<i;j++)
33                 if(q[i]%q[j]==0)p[j]=1;
34     while(p[cnt])cnt++;
35     cout<<n/q[cnt];
36     return 0;
37 }

 

标签:strongbox,2277,3518,gcd,ll,整数,x%,密码,getchar
来源: https://blog.51cto.com/u_15180869/2799023