约数

约数

什么是约数

约数，又称之为因数。整数\(a\)除以整数\(b(b!=0)\)除得的商正好是整数而没有余数。我们就说\(a\)能被\(b\)整除，或\(b\)能整除\(a\)。\(a\)称为\(b\)的倍数，\(b\)称为\(a\)的约数。

如何求约数

我们都知道，每一个合数都可以写成几个素质相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数。所以我们就可以把\(n\)分解成：\(n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times \dots \times p_k^{a_k}\)，其中\(p_1,p_2,\dots,p_k\)是不同的素数，\(a_1,a_2,\dots,a_k\)是正整数。

由约数定义可知\(p_1^{a_1}\)的约数有：\(p_1^0, p_1^1, p_1^2,....p_1^{a_1}\),共\((a_1+1)\)个；同理\(p_2^{a_2}\)的约数有\((a_2+1)\)个，\(\dots\)，\(p_k^{a_k}\)的约数有\((a_k+1)\)个。

故根据乘法原理：\(n\)的正约数的个数为\(\prod_{i = 0}^n(a_i+1)=(a_1+1)\times(a_2+1)\times\dots\times(a_n+1)\)。

如何求约数和

由约数定义我们可知\(p_1^{a_1}\)的约数有：\(p_1^0, p_1^1, p_1^2,....p_1^{a_1}\),共\((a_1+1)\)个；同理\(p_2^{a_2}\)的约数有\((a_2+1)\)个，\(\dots\)，\(p_k^{a_k}\)的约数有\((a_k+1)\)个。而实际上\(n\)的约数是在\(p_1^{a_1},p_2^{a_2},\dots,p_k^{a_k}\)每个约数中分别挑选一个相乘得来，这样可知共有\((a_1+1)\times(a_2+1)\times\dots\times(a_k+1)\)种挑法，即约数的个数，有乘法原则我们可知它们的和为：\(f(n)=(p_1^0+p_1^1+p_1^2+…p_1^{a_1})\times(p_2^0+p_2^1+p_2^2+…p_2^{a_2})…(p_k^0+p_k^1+p_k^2+…p_k^{a_k})\)。

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