数字图像学习笔记 -- 数字图像基础
作者:互联网
一 成像模型
我们用二维函数 来表示图像。在空间坐标处的值是一个标量,其物理意义由图像源决定,其值与物理源辐射的能量成正比。
区间称为亮度级(灰度级)。实际工作中常将这类区间表示为或,其中表示黑色,表示白色。
二 图像取样和量化
1. 取样和量化的基本概念
对于一幅连续图像,我们需要将它转化成数字形式。一幅图像的坐标和坐标是连续的,其幅度也是连续的。要将函数数字化,就要对该函数的坐标和幅度进行取样。对坐标值进行数字化称为取样(采样),对幅度值进行数字化称为量化。
2. 数字图像表示
令表示一个有两个连续变量和的连续图像函数。
假设把一幅连续图像取样为一幅数字图像,该图像包含有行和列,其中是离散坐标。
一般来说,数字图像在任何坐标处的值记为,其中和都是整数。
由图像的坐标张成的实平面部分称为空间域,和称为空间变量或空间坐标。
一幅图像中的可观像素数量具有高动态范围时,称之为该图像具有高对比度。
存储数字图像所需的比特数为:
是,上式变为:
1字节等于8比特,1兆字节等于字节。
一幅图像具有个可能的灰度级时,我们通常称该图像是一幅"比特图像"。
3. 线性索引和坐标索引
一个像素的位置由其二维坐标给出的约定,称为坐标索引或下标索引。
在图像处理中广泛使用的线性索引,由一个一维的非负整数串组成,这个非负整数串是通过计算到坐标的偏移量得到的。
线性索引主要是两种:一种基于图像的行扫描;另一种基于图像的列扫描;
4. 空间分辨率和灰度分辨率
空间分辨率是图像中最小可辨别细节的测度。
灰度分辨率是指在灰度级中可分辨的最小变化。
灰度分辨率通常是指量化灰度时所用的的比特数。
5. 图像内插
内插通常在图像放大,缩小,旋转和几何校正等任务中使用。
内插是用已知数据来估计未知未知的值的过程。
双线性内插,使用4个最近邻的灰度来计算给定位置的灰度。令表示待赋灰度值的位置的坐标,令表示灰度值。其公式为:
上式中,4个系数可用由点的4个最近邻点写出的4个未知方程求出。双线性内插的结果要比最近邻内插的结果好得多,但计算量会随之增大。
双三次内插,它包括16个最近邻点。其公式为:
上式中,16个系数可用由点的16个最近邻点写出的16个未知方程求出。通常,双三次内插在保留细节方面确实要强于双线性内插。
内插时可以使用更多的邻点,并且存在使用样条和小波的复杂技术,采用这些技术可以得到更好的结果。
三 像素间的一些基本关系
1. 像素的相邻像素
坐标处的像素有2个水平的相邻像素和2个垂直的相邻像素,它们的坐标是:
这组像素称为的4邻域,用表示。
的4个对角相邻像素的坐标是:
用表示。这些相邻像素和4邻域合称为的8邻域,用表示。
点的相邻像素的图像位置集称为的邻域。如果一个邻域包含,那么称该邻域为闭邻域,否则称该邻域为开邻域。
2. 邻接,连通,区域和边界
令V是用于定义邻接的灰度值集合。在二值图像中,指值为1的像素的邻接时, { 1 } 。
三种类型的邻接:
1. 4邻接。在集合中时,值在中的两个像素和是4邻接的。
2. 8邻接。在集合中时,值在中的两个像素和是8邻接的。
3. m邻接(混合邻接)。如果:(a) 在 中,或(b) 在中,且集合中没有值在中的像素,那么值的中的两个像素和是邻接。
混合邻接是8邻接的改进,目的是消除采用8邻接时可能导致的歧义性。
从坐标为的像素到坐标的像素的数字通路(或曲线)是不同的像素序列,这些的像素坐标为:
式中,点和在 时是邻接的。是通路的长度。时,通路是闭合通路。
令表示图像中像素的一个子集。如果完全由中所有像素组成的两个像素和之间存在一个通路,那么称和在中是连通的。对于中的任意像素,在中连通到该像素的像素集称为的连通分量。若仅有一个连通分量,则集合称为连通集。
令表示图像中像素的一个子集。若是一个连通集,则称为图像的一个区域。两个区域和联合形成一个连通集时,称和为邻接区域。不邻接的区域称为不相交区域。
2. 距离测度
对于坐标分别为,和的像素, 和,如果:
当且仅当
且
则是一个距离函数或距离测度。和之间的欧几里得距离定义为:
对于这个距离测度,到点的距离小于等于的像素,是中心在,半径为的圆盘。
和之间的距离定义为:
此时,到的距离小于等于的像素形成一个中心为的菱形。
和之间的距离定义为:
此时,到的距离小于等于的像素形成一个中心为的方形。
3. 空间运算
分为三类:
- 单像素运算;
- 邻域运算;
- 几何空间变换;
单像素运算
用一个变换函数改变图像中各个像素的灰度:
式中,是原图像中像素的灰度,是处理后图像中对应像素的灰度。
邻域运算
令代表图像中以任意一点为中心的一个邻域的坐标集。邻域处理在输出图像中的相同坐标处生成一个对应的像素,这个像素的值由输入图像中邻域像素的规定运算和集合中的坐标确定。平均运算公式为:
式中,和是像素的行坐标和列坐标,这些坐标属于集合。
几何变换
几何变换改变图像中像素的空间排列。
数字图像的几何变换由两种基本运算组成:
- 坐标的空间变换;
- 灰度内插,即为空间变换后的像素赋灰度值;
坐标变换可表示为:
二维仿射变换的关键性质是,它保留点,直线和平面。
采用3 x 3矩阵,用齐次坐标来表示所有4个仿射变换是可能的:
这个变换可根据为矩阵A选择的元素值,对图像进行缩放,旋转,平移或剪切变换。
4. 图像变换
表示为的二维线性变换是一种特别的重要的变换,其通式为:
式中,是输入图像,称为正变换核。(x和y是空间变量,M和N是的行数和列数, 和称为变换变量)。称为的正变换。
已知,我们用的反变换还原:
式中,,称为反变换核。
变换的性质取决于变换核。
在数字图像处理中特别重要的一种变换是傅立叶变换,它具有如下正变换核和反变换核:
和
式中,,因此这些变换核是复函数。可得到离散傅立叶变换对:
和
当正,反变换核可分,对称,且是大小为M x M的方形图像时,可表示为矩阵形式:
式中,是包含的元素的M x M矩阵; 是元素为的M x M 矩阵,是元素为的M x M变换矩阵。
为得到反变换,我们用反变换矩阵前乘和后乘式:
若,则
该式表明或等效的可由其正变换完全恢复。若,则:
5. 图像灰度和随机变量
灰度级在这幅图像中出现的概率计算为:
式中,是灰度级在图像中出现的次数,MN是像素总数。很明显有:
均值灰度为:
同理,灰度的方差为:
一般来说,随机变量z相对于均值的第n阶中心矩定义为:
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