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欧拉数学习小记

作者:互联网

参考资料:

https://www.luogu.com.cn/blog/Karry5307/eulerian-numbers

https://www.cnblogs.com/mengnan/p/9307521.html


欧拉数:\(\langle\begin{matrix}n\\ k\end{matrix}\rangle\)(为了方便编辑记作\(E(n,k)\)),表示:有多少个长度为\(n\)的排列\(p\),满足\(\sum_i [p_i<p_{i+1}]=k\),即相邻上升个数为\(k\)。

【一些性质】

递推式:\(E(n,k)=(k+1)E(n-1,k)+(n-k-1)E(n-1,k-1)\)

考虑从\(n-1\)转移到\(n\),新增的\(n\)插到哪里:

  1. \(n\)插到末尾,相邻上升个数加一。
  2. \(n\)插到开头,相邻上升个数不变。
  3. \(n\)插到原来\(p_i<p_{i+1}\)的之间,相邻上升个数不变。
  4. \(n\)插到原来\(p_i>p_{i+1}\)的之间,相邻上升个数加一。

综合起来可得递推式。

对称性:\(E(n,k)=E(n,n-k-1)\)(如果\(n>0\))

显然任意排列\(\{p_i\}\)与\(\{n-p_{i}+1\}\)一一对应,而且两者相邻上升个数总和为\(n-1\)。

通项1:\(E(n,k)=\sum_{i=k}^{n-1}\binom{i}{k}(-1)^{i-k}(n-i)!S(n,n-i)\)。其中\(S\)为第二类斯特林数。

考虑相邻上升个数至少为\(k\)如何计算,记为\(F(n,k)\)。也就是把\(n\)个数分成\(n-k\)个集合,对这\(n-k\)个集合进行排列。同一个集合的连在一起,并且排好序。于是\(F(n,k)=(n-i)!S(n,n-i)\)。

由于\(F(n,k)=\sum_{i=k}^{n-1} \binom{i}{k}E(n,k)\),反演得\(E(n,k)=\sum_{i=k}^{n-1}\binom{i}{k}(-1)^{i-k}F(n,i)\)。

通项2:\(E(n,k)=(-1)^{n-k}\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^ii^n\binom{n+1}{k+i+1}\)

在通项1中,代入第二类斯特林数通项\(S(n,k)=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(-1)^{k-i}i^n\)。

通过一些基础的组合数技巧可以得到通项2。

通项3:\(E(n,k)=\sum_{i=0}^k(-1)^i(k+1-i)^n\binom{n+1}{i}\)

由于\(E(n,k)=E(n,n-k-1)\),把\(E(n,n-k-1)\)代入通项2得到\(E(n,k)=\sum_{i=0}^{k+1}(-1)^i(k+1-i)^n\binom{n+1}{i}\)

如果\(n>0\),则枚举边界\(0\dots k+1\)可以改为\(0\dots k\)。

如果\(n=0\),不满足对称性。不过这时候发现把枚举边界\(0\dots k+1\)改为\(0\dots k\)恰好为正确答案。

所以\(E(n,k)=\sum_{i=0}^k(-1)^i(k+1-i)^n\binom{n+1}{i}\)


【Worpitzky 恒等式】:\(x^n=\sum_kE(n,k)\binom{x+k}{n}\)。

首先有\(x\binom{x+k}{n}=(k+1)\binom{x+k}{n+1}+(n-k)\binom{x+k+1}{n+1}\)。展开即可证明。

现在证明\(xx^n=\sum_kE(n,k)x\binom{x+k}{n}\)等于\(x^{n+1}=\sum_{k}E(n+1,k)\binom{x+k}{n+1}\)。

左边展开\(x\binom{x+k}{n}\),右边展开\(E(n+1,k)\),化一下式子即可证明。

标签:dots,sum,个数,学习,相邻,通项,binom,欧拉,小记
来源: https://www.cnblogs.com/jz-597/p/14701751.html