作者：CHEONG

公众号：AI机器学习与知识图谱

研究方向：自然语言处理与知识图谱

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第一讲：【机器学习系列】MCMC第一讲：蒙特卡罗方法初认识

第二讲：【机器学习系列】MCMC第二讲：Markov Chain & Monte Carlo基本概念和核心思想

第三讲：【机器学习系列】MCMC第三讲：理解MCMC前必先弄懂这两点

第四讲：【机器学习系列】MCMC第四讲：Metropolis Hastings采样算法

本文从采样，存在问题等角度总结一下马尔科夫链蒙特卡洛方法。

一、采样的动机及MCMC存在问题

1、认识采样

采样是困难的，采样的困难大多是由高维度带来的。概率密度函数pdf特别简单的情况下可以直接采样，对于容易求出概率密度函数pdf的累积密度函数cdf时，也可以直接从cdf中进行采样；否则都采用间接采样的方式，如拒绝采样、重要性采样和MCMC采样等。

2、采样的动机是什么，为什么要进行采样？

首先，采样本身就是常见的任务；其次，采样可用于求和或求积分，如下公式便是利用采样来近似求解积分。

3、如何评估采样样本的好坏？

首先，采样的样本尽可能趋向于高概率区域；其次，采样的样本之间是相互独立。

二、MCMC存在的几个问题

1、理论只保证收敛性，但在实际情况下不清楚马尔科夫链何时可以收敛；

2、即使知道何时平稳分布，但收敛的时间可能会很长，可认为无法收敛；

3、马尔科夫链之间是相关的，因此MCMC采样的样本之间存在一定的相关性。

当然对于采样最大的问题还是概率分布pdf维度过高，导致采样过程很复杂，维度过高也是导致收敛时间长的原因。MCMC中提出的很多方案都是为了解决收敛时间过长的问题。

下面再补充一下MCMC采样除了MH采样方法外的另一种解法：Gibbs采样

三、Gibbs 吉布斯采样

Gibbs也是特殊的MH采样方法，Gibbs是接受率恒等于1的MH采样，效率很高。

Gibbs采样是针对高维的概率分布 p ( z ) = p ( z 1 , z 2 , . . . , z n ) p(z)=p(z_1,z_2,...,z_n) p(z)=p(z1​,z2​,...,zn​)进行采样，高维数据采样的方式是在对 z i z_i zi​维采样时，固定其他维度，并且每一维进行采样时都依赖于之前采样过的维度。下面通过一个简单的例子看一下采样的过程，假设现有一个三维的概率分布 p ( z ) = p ( z 1 , z 2 , z 3 ) p(z)=p(z_1,z_2,z_3) p(z)=p(z1​,z2​,z3​)

1、第1轮采样： z 1 ( 0 ) , z 2 ( 0 ) , z 3 ( 0 ) z^{(0)}_1,z^{(0)}_2,z^{(0)}_3 z1(0)​,z2(0)​,z3(0)​

2、第t+1轮采样：

下面将根据上述特性证明Gibbs采样是接受率恒等于1的MH采样：

因为Gibbs按维采样特性，所以有：

因此：

所以：

可以得出，Gibbs采样是接受率恒等于1的MH采样，效率比采样更高。

标签：采样,MCMC,机器,马尔科夫,MH,Gibbs,维度,系列
来源： https://blog.csdn.net/feilong_csdn/article/details/115661379