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数组中的逆序对

• 基本思想
• 代码
• 总结

基本思想

拿到这个题目，最简单粗暴的方法，就是用两个for循环，一 一比较统计出逆序对，时间复杂度为O(n^2)，当数组元素较多时，很有可能会超时。
那我们能想到什么方法呢？
给定一个特殊数组data={5,7,4,6}（前半段和后半段分别有序）;，计算它的逆序对：
对于元素5:0个。f(0)
对于元素7:0个。f(1)
对于元素4:1个。f(2)
对于元素6:2个。f(3)
所以整个数组的逆序对cnt=0+0+1+2=3个。
我们试着对data数组进行归并排序：
data前半段数组：{5,7}
data后半段数组：{4,6}
归并过程：如图

1. j 指向 后半段的4，i 指向前半段的5时，4<5。说明前半段中的 5 以及5后面的数与 4 均构成逆序对，即前半段中剩下的没来得及复制到临时数组的所有数均与 4构成逆序对，统计此时做半段没来得及复制到临时数组temp的剩余的元素数量：2。j++,判断下一个
2. j 指向 后半段的6，i 指向前半段的5时，6>5。5 复制到临时数组。i++。左半段的 5与前面的数并不构成逆序对。（左半段升序，不构成逆序对）
3. j 指向 后半段的6，i 指向前半段的 7 时，6<7。说明前半段中的 7 以及7后面的数与 6 均构成逆序对，即前半段中剩下的没来得及复制到临时数组的所有数均与 6构成逆序对，统计此时做半段没来得及复制到临时数组temp的剩余的元素数量：1。j++,判断下一个
4. j 已经到末尾了，将左半段剩余的数全部复制到temp中（左半段升序，不构成逆序对）

我们发现，在归并排序时，我们可以顺便完成每个元素能构成的逆序对的统计 f(j)。由于合并是从小到大的，当右边的data[j]复制到temp中时，左边没来得及复制到temp的那些数都比data[j]大，此时只要在累加器中加上左边的剩余元素数量mid-i即可。
其实，我当时在想，这样统计出来的逆序对会不会漏或者多统计。实际上不会，在归并排序过程中，自底向上排序。每次在合并的时候，计算每个元素能构成的逆序对的数量。递归求解统计了 i 和 j 都在左边或右边的逆序对个数，“合并问题”则是统计 i 在左边，但是 j 在右边的逆序对个数。

代码

class Solution {
public:
    int InversePairs(vector<int> data) {
        cnt=0;
        vector<int> temp(data.size());
        merge_sort(data,0,data.size(),temp);
        return cnt;
    }
    //在归并排序中，计算统计逆序对的数量  左闭右开 
    void merge_sort(vector<int>& data,int start,int end,vector<int>&  temp){
    	if(end-start<=1) return;//区间中只有一个元素，一个元素认为有序，且逆序对为0
		int mid=start+(end-start)/2;//避免start+end过大溢出
		//cout<<mid;
		merge_sort(data,start,mid,temp);//归并排序左半部分 
		merge_sort(data,mid,end,temp); //归并排序右半部分
		//左右不分均排序后，合并到临时数组temp中
		int i=start,j=mid,index=start;//i指向左半边有序数组，j指向右半边有序数组，index指向temp临时数组
		
		while(i<mid||j<end){
			//右半边数组已经放完，	//或左半边数组i位置的数比右半边数组j元素要小 .这两种情况均是把左半边的数组复制到临时数组temp 
			if(j>=end||(i<mid&&data[i]<=data[j])) temp[index++]=data[i++];
			else {
				temp[index++]=data[j++];//右半边j位置元素比左半边i小，右半边复制到临时数组 
				//一旦是在将右半边数组复制到临时数组时，此时左半边剩余的还没来得及复制到temp的数均比j位置的数大，它们与j位置的数均构成逆序对
				//因此，在从右半边复制j到temp时，统计左半边还剩多少元素k，这k个数与j位置元素构成逆序对
				cnt+=mid-i; 
				cnt%=1000000007;
			}
		} 
		//将有序的temp复制回data
		i=start;
		while(i<end) {//data[i] =temp[i++];
			data[i] =temp[i];
			i++;
		}
	}
	private:
	int cnt;
};

总结

没有马上想到用归并排序来做。需要对一些经典的基础算法加深理解，其实很多题目都是在一些经典的算法中添加某些操作，来解决问题，向这个就是利用归并排序求逆序对，还有之前的利用堆排序求top k的问题等等。如果对归并排序、堆排序等经典算法有深层次的理解，就能够将它们应用到相应的实际问题中。编程路上，砥砺前行~

标签：复制到,半边,temp,数组,data,逆序
来源： https://blog.csdn.net/qq_42211773/article/details/115590473