数论（2）逆元

一、逆元理解

逆元是什么？
逆元就是扩大了概念的倒数。

定义：如果 ax≡1（mod M)，就称x为在模M下 a的 逆元！
简单地说，如果一个数x满足 ax%M=1，那么x就称为在模M下 a的 逆元！

为什么说是扩大了概念的倒数呢，可见比起以前的倒数，只加了一个条件，即在后边加了一个 “%M"，也可以这样理解，我们以前的倒数，也有这个条件，不过M是1。

二、逆元用处

有时候结果会让取模，除法只能用逆元取，如下：
(a/b）%M=(ainv[b])%M=(a%M)(inv[b]%M)%M

三、方法

（一、费马小定理）

费马小定理：
如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）。 [1]

局限性：只能用于p为素数，且gcd(a,p)为1
改造一下费马小定理式子得到：a*a^(p-2)≡1(mod p)
这样，便和逆元式子对应起来了，a的逆元便是x，即是a^(p-2)
用快速幂就OK了

int quick(int a,int n,int p)
{
    if(n==0)
        return 1;
    if(n%2)
        return a*quick(a,n-1,p)%p;
    int tmp=quick(a,n/2,p);
    return tmp*tmp%p;
}

(二、扩展欧几里得定理）

局限性：gcd(a,M)=1,但并不要求M为素数，所以这个适用范围更广泛，而且稍快，推荐
ax≡1(mod M)
ax-My=1
即：ax+My=1

void exgcd(int a,int b,int &g,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        g=b;    x=1;    y=0;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,g,y,x);     y-=x*(a/b);
    }
}

（三、线性推）

inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < p; ++ i)
    inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;

四、例题

逆元板子
线性推
维护前后缀积线性推逆元

标签：倒数,数论,inv,int,逆元,ax,mod
来源： https://blog.csdn.net/czyhbo/article/details/115470754