向量空间

• 前言
• 1.向量空间
• 2.张成空间
• 3.相等向量组
• 4.最大无关组与秩
• 5.基
• end

前言

• 关于向量的介绍,请参考我的另一篇文章,里面详细介绍了向量的表示,向量的加减数乘以及线性相关,线性组合的知识.
• 多彩的世界,离不开线性代数

1.向量空间

• 我们身处的地球,正是以xyz坐标(可以看作3个向量)为基,构成的一个向量空间

• 我们熟知的召唤师峡谷,也正是由上中下路为基构成的向量空间

接下来,让我们具体的构建一下,向量空间的相关知识,相信看完本文,你会对这个世界,最起码对目录上所标识的知识,有全新的一个认识!

首先,我们还是非常简单的先定义一下什么是向量空间

1. 向量空间里面包含了一系列的向量,我们用向量组表示
2. 向量组中的任意向量在其中运动,仍然在其中

关于向量组的定义在文首的那一篇我的文章链接中

• 多彩的世界,离不开线性代数

这里,我们将⚪中所有的点作为我们的向量组
所谓运动,
即 对其中的向量进行加减数乘(前文有详解)之后,
其结果仍然在空间内,我们看看上图,很明显,两个向量相加以及超出了边界,所以该⚪不是向量空间
注意:向量空间一定要包含原点,就像地球它一定有地核!!!

2.张成空间

在这一篇文章中- 多彩的世界,离不开线性代数
我们介绍了RGB颜色的原理,所有的颜色都可以基于RGB调出来,而RGB所调出来的所有颜色,就称其为张成空间(也是向量空间)

那么上图,就是由RGB所张成的空间.

3.相等向量组

除了电脑中常见的RGB三原色,我们在印刷中,最常用的是CMY三原色
既然RGB就能表示所有颜色,为什么又出来一个CMY呢?这就涉及到了颜色的成像原理.

• 电脑是通过自发光来显示的,所以要显示颜色可以用不同比例的RGB来混和
• 而我们平时所看到书籍纸张,是通过反射来呈现在我们的视神经中,在纸上涂黄色颜料,实际上就是把白光中的青色去掉(如上图)
  我们定义:若两个向量组A,B, A中的任意向量能被B线性表示,那么我们称A,B为等价向量组.
  从几何上来讲,从二维平面内任意取两个过原点的向量,可以张成一个二维平面,再此平面内,再次任取两个过原点的向量,他们的张成空间仍然是这个平面.
  

4.最大无关组与秩

还是用RGB的例子

• 我们有两个向量组A1={R,G,B},A2={R,G,B,Y}
  我们知道,RGB就已经能够构建出所有的颜色了,所以如果你是一个画家,技艺足够高深,那么你出门永远只需要带RGB,而不是RGBY,Y是多余的
  

• 我们定义:向量组中的n个向量线性无关,n+1个向量线性相关(如果有那么多个),那么我们称那n个向量组成的向量组为最大线性无关组,简称最大无关组.

上述的A1,便是一个最大无关组,我们需要注意的是,最大无关组可能不止一个,但是他们其中向量的个数一定相同,这个数目,就是秩!!!

• 我们从几何的角度考虑一下
  
  这就是一个由X,Y,Z向量构成的三维空间,也正是我们所在的空间,但其实,我们用任意3个过原点的向量,也能构建出一个三维空间,他们所构成的向量组就是最大无关组

5.基

• 还是用我们上述的两个向量组A1,A2

• 我们定义,A1就是A2的一个基

• 基就是基石,就是构成某个向量空间最基本的向量组

• 在我们熟知的二维空间中,xy坐标轴就是基,三维空间中,xyz就是基,我们再从颜色出发

• 
  同一种颜色,我们既可以用RGB表示,也可以用CMY表示,但是不同的基表示,其坐标也会发生一定的变化(RGB,CMY的比例不同)如上图.
  那么基的秩,就是其所张成的空间的维度.

end

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标签：颜色,身处,RGB,张成,空间,我们,向量
来源： https://blog.csdn.net/goodness_for_me/article/details/115360488