极限
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知识点
极限的概念
- 所有子数列趋向于同一极限
- lim x → x 0 f ( x ) \lim\limits_{x\to x_0}f(x) x→x0limf(x)与 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)的值无关
- f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0处可以无定义，但在其去心邻域内必须有定义
- 题外话： a r c t a n x + a r c t a n 1 x = π 2 arctanx+arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2} arctanx+arctanx1=2π，证明：
证明一个函数是常数可以参考此方法
- 保号性第一条的等号不可以加
- 保号性第二条的等号不可以丢
- 保序性做差后由保号性即可证明
- 第一条不能加加等号
- 第二条不能去等号
- 有限二字不能丢！
- 证明可参考李正元全书例1.37
- 存在与任意的区别
题型
- 利用极限的保序性
- ϵ \epsilon ϵ是给定的，然后才有 n n n充分大
- 只要 b n b_n bn的极限是非0常数那么D项都是对的
- ψ \psi ψ和 g g g的极限都存在的话，B项是对的
- 两种出题思路：①考查一个概念能否反推；②考查改变条件后是否还能推出原结论
- 收敛 → 有界
- 若S有界，则S是单调有界数列，所以S收敛，根据a与S的关系即可推出a收敛，所以是充分条件
- 函数值的差要考虑拉格朗日中值定理
- 夹逼准则，单调有界，如果不求极限的值只证收敛一般用后者
- 单调可以考虑： a n + 1 − a n a_{n+1}-a_n an+1−an或者 a n + 1 a n \frac{a_{n+1}}{a_n} anan+1
- 单调减，下有界
- 注意条件：存在
- 如果和（差）已经存在，那么右边一个存的话，另一个也存在
- 3）的证明见李正元全书例1.28
- 常用泰勒公式要记
- 通常对分母下手
- 注意方法的选择
- [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]区间
- 每个区间长度为 1 n \frac{1}{n} n1，一共 n n n份，所以是 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]区间
- 不用拉格朗日，提出一个 e s i n x e^{sinx} esinx然后等价代换也可以
- [ 0 , 2 ] [0,2] [0,2]区间
- 每个区间长度是 2 n \frac{2}{n} n2，一共 n n n份，所以是 [ 0 , 2 ] [0,2] [0,2]区间，提出的是 1 n \frac{1}{n} n1，所以外面要凑一个 2 n \frac{2}{n} n2
- 再举个例子：李正元全书例1.34
- 洛必达通常直接用会很麻烦，最好先等价替换
- 看见根式要想到有理化
- 如果开高次方根可考虑此方法
- 泰勒那一步用洛必达也可
- 变上限积分的等价代换
- 展开到相减不为0的第一项
- 先洛必达，然后分子分母同除最高阶无穷大
- 注意正负
- 先有理化，然后同除最高阶无穷大
- 解法3：可以考虑拉格朗日中值定理
- 左能推右，右不能推左
- 提 e e e那步也可考虑拉格朗日中值定理
- ∞ − ∞ \infty-\infty ∞−∞型考虑分子分母同除最高阶无穷大
- 注意这三步
- 解法3更简单一点，三部曲
- 利用三部曲
- 三角变换，利用三部曲
- 对分母下手
- 此类题型首项一般与 n n n无关系
- 此题是李正元全书例1.13，对分母下手进行放缩
- 提一个 1 n \frac{1}{n} n1出来，这样就是 n l n n nlnn nlnn，然后就是每项都减去一个 l n n lnn lnn
- 注意 f ( x ) f(x) f(x)单调减的话则 x n {x_n} xn不具单调性（项与项之间一增一减）
- 方法总结看李正元全书例1.16，1.17及其知识点
- 界限可以先解出来，然后证明有界一般可以归纳得出
- 可参考李正元全书例1.17，（其实是数值分析的收敛级数的迭代法）
- 有理化
- 注意正负，提的是负 x x x
- 参考李正元全书例1.29
- 0 ∞ \frac{0}{∞} ∞0依然等于 0 0 0，所以可以把再除一个 x x x
答疑：
- n n n阶可导 —》 n − 1 n-1 n−1阶导连续
- 第一步要先看出来 m = 1 n m=\frac{1}{n} m=n1
- ( 1 + x ) α − 1 ∼ α x (1+x)^{α}-1\simαx (1+x)α−1∼αx
- 分母提一个 n α n^{α} nα
- 算一次就排除掉一些选项
- c o s x 2 → 1 cos{x^{2}}→1 cosx2→1
- 笔误，应该是 n ( m + 1 ) n(m+1) n(m+1)
- 泰勒公式
- 选择题也可把选项带入
- x → 0 x→0 x→0时， n n n越小 x n x^{n} xn越大
- 等价代换精度不够
- 用泰勒
- 分母次数知道就展开到和分母次数一样，分母不知道就展开到相减不为 0 0 0的项
标签：frac,极限,李正元,全书,分母,单调 来源： https://blog.csdn.net/qq_53281219/article/details/114998724