二阶行列式
作者：互联网
麻雀虽小，五脏俱全。让我们从线性方程组开始，探索二阶行列式的奥秘吧！
一、解方程组
标准二元一次方程组
首先定义两个二元一次方程的方程组标准式如下：
\[\left\{\begin{matrix} \tag{1} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{matrix}\right. \]方程求解
为了解出\(x_1,x_2\)，我们引入变量\(A_{11},A_{21}\)，分别乘以式 \((1)\) 中相应等式，然后两式相加得
\[(a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21})x_1 + (a_{12}A_{11} + a_{22}A_{21})x_2 = b_{1}A_{11} + b_{2}A_{21} \tag{2} \]令\(A_{11},A_{21}\)满足下列条件：
\[\begin{cases} (a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21})x_1 &= b_{1}A_{11} + b_{2}A_{21} \\ (a_{12}A_{11} + a_{22}A_{21}) &= 0 \tag{3} \end{cases} \]若\(a_{22}\neq0,A_{11}\neq0\)，由 \(a_{12}A_{11} + a_{22}A_{21} = 0 \Rightarrow \cfrac{a_{12}}{a_{22}} = -\cfrac{A_{21}}{A_{11}}\)，
若取 \(A_{11} = -a_{22}, A_{21}=a_{12}\)，代入 \((3.1)\) 式中得
\[(-a_{11}a_{22} + a_{21}a_{21})x_1 = -b_{1}a_{22} + b_{2}a_{21} \tag{4} \]若取 \(A_{11} = a_{22}, A_{21}=-a_{12}\)，代入 \((3.1)\) 式中得
\[(a_{11}a_{22} - a_{21}a_{21})x_1 = b_{1}a_{22} - b_{2}a_{21} \tag{5} \]行列式的引入
观察方程组 \((1)\) 的系数表，
\[\begin{matrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \tag{6} \end{matrix} \]比较\((4),(5)\)中 \(x_1\) 的系数，式 \((5)\) 中的系数看上去与式 \((6)\) 相近。由此，我们引入一个记法 行列式 ，其定义如下：
\[\begin{vmatrix} \tag{7} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \]于是式 \((5)\) 可以表示为
\[\begin{vmatrix} \tag{8} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}x_1 = \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12}\\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix} \]令 \(|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix},|A_1|=\begin{vmatrix} b_{1} & a_{12}\\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix}\) ，则若 \(|A|\neq0\) ，则
\[x_1 = \cfrac{ \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12}\\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}=\cfrac{|A_1|}{|A|} \tag{9} \]同理，可得\(|A_2|=\begin{vmatrix} a_{11} & b_{1}\\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix}\)
\[x_2 = \cfrac{ \begin{vmatrix} a_{11} & b_{1}\\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}}=\cfrac{|A_2|}{|A|} \tag{10} \]二、行列式的性质
由式 \((7)\) 中行列式的定义，我们发现二阶行列式有如下性质：
1. 上（下）三角行列式等于其主对角元素之积
\(|A| = a_{11}a_{22}\)
2. 若某一行（列）元素全部为0，则行列式为0
\[|A|=\begin{vmatrix} 0 & b\\ 0 & d \end{vmatrix}=0d-0b=0 \]\[|A|=\begin{vmatrix} 0 & 0\\ c & d \end{vmatrix}=0d-0c=0 \]3. 若用常数 \(k\) 乘以某一行（列），则得到的行列式为原行列式的 \(k\) 倍
\[\begin{vmatrix} ka & kb\\ c & d \end{vmatrix}=kad-kbc=k(ad-bc)=k\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = k|A| \]\[\begin{vmatrix} ka & b\\ kc & d \end{vmatrix}=kad-kbc=k(ad-bc)=k\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = k|A| \]4. 交换行列式不同的两行（列），行列式的值改变符号
\[\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc=-(cb-da)=-\begin{vmatrix} c & d\\ a & b \end{vmatrix} \]\[\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc=-(bc-ad)=-\begin{vmatrix} b & a\\ d & c \end{vmatrix} \]5. 若行列式两行（列）成比例，则行列式的值等于0。特别的，若行列式两行（列）相同，则行列式的值等于0
\[\begin{vmatrix} ka & kb\\ a & b \end{vmatrix}=kab-kab=0 \]\[\begin{vmatrix} ka & a\\ kc & c \end{vmatrix}=kac-kac=0 \]6. 行列式加法：若某一行（列）元素均为两项之和，则行列式可以表示为两个行列式之和
\[\begin{vmatrix} a_1+a_2 & b_1+b_2\\ c & d \end{vmatrix}=(a_1+a_2)d-(b_1+b_2)c=(a_1d-b_1c)+(a_2d-b_2c)=\begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ c & d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_2 & b_2\\ c & d \end{vmatrix} \]\[\begin{vmatrix} a_1+a_2 & b\\ c_1+c_2 & d \end{vmatrix}=(a_1+a_2)d-b(c_1+c_2)=(a_1d-bc_1)+(a_2d-bc_2)=\begin{vmatrix} a_1 & b\\ c_1 & d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_2 & b\\ c_2 & d \end{vmatrix} \]7. 行列式的某一行（列）乘以某个数加到另一行（列）上，行列式的值不变
利用性质6和性质5可得
\[\begin{vmatrix} a+kc & b+kd\\ c & d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} kc & kd\\ c & d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} \]\[\begin{vmatrix} a+kb & b\\ c+kd & d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} kb & b\\ kd & d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} \]8. 行列式和其转置具有相同的值
\[|A|=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc = ad - cb = \begin{vmatrix} a & c\\ b & d \end{vmatrix}=|A^T| \]三、行列式性质应用
现在我们用行列式的性质来解二元一次方程组 \((1)\)
将 \(b_1,b_2\) 代入下面的行列式：
\[|A_1|=\begin{vmatrix} b_{1} & a_{12}\\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 & a_{12}\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 & a_{22} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}x_1 & a_{12}\\ a_{21}x_1 & a_{22} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{12}x_2 & a_{12}\\ a_{22}x_2 & a_{22} \end{vmatrix}=x_1\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=x_1|A| \]结论与式 \((8)\) 相同
标签：11,begin,end,21,22,二阶,vmatrix,行列式 来源： https://www.cnblogs.com/yaoyu126/p/14474999.html