预备知识

堆

定义

堆（英语：heap），是计算机科学中的一种特别的完全二叉树，它满足以下性质：

• 给定堆中任意节点P和C，若P是C的母节点，那么P的值总是小于等于（或大于等于）其子节点C的值。
• 除最底层，其它层的节点都填满，且最底层通过从左往右顺序添加元素。
• 逻辑结构为树，存储结构为数组。

分类

根据父节点和儿子节点之间的大小关系，可分为小根堆和大根堆（如下图）：

• 小跟堆：给定堆中任意节点P和C，若P是C的母节点，那么P的值总是小于等于其子节点C的值
• 大根堆：给定堆中任意节点P和C，若P是C的母节点，那么P的值总是大于等于其子节点C的值
  

基本操作

操作	描述	时间复杂度
build	建立一个空堆	O(n)
insert	向堆中插入一个元素	O(logn)
get	获取堆顶元素	O(1)
delete	删除堆顶元素	O(logn)
heapify	使删除堆顶元素的堆再次成为堆	O(logn)

insert操作：

1. 将新元素插入到堆的尾部
2. 将新元素heapifyup，即依次向上调整整个堆的结构
   delete操作：
3. 将堆尾元素替换掉堆顶元素（实现所谓删除）
4. 对堆顶元素heapifydown，即依次向下调整整个堆的结构

用途

建立优先队列、找最值、堆排序等。

算法详解

首先解决一个问题，即为什么我们要进行堆排序？在正常的堆中，数据只是在父子关系的层面上有序，在小跟堆中每个孩子节点都大于它的父节点，在大跟堆中每个孩子节点都小于它的父节点。这种粒度的有序太粗糙，为了达到整体的有序，因此需要排序。

算法过程

以构造一个降序序列为例：
构造降序序列，初始化对应构建小根堆（反之，大根堆）。
一、 将待排序序列构成一个小根堆

1. 设初始数组为[6,1,2,3,0,4,5,7]
2. 按照完全二叉树，将数字依次填入
3. 找到最下面的非叶子节点（第len(nums)//2-1个节点），开始依次调整，即根据小根堆的性质，把每个节点看做根节点，做一次heapifydown，让小元素上浮，大元素下沉
4. 从下至上（数组的排列上），从右往左（树的结构上），从最底非叶子节点到根节点，对每个节点做这样的调整
   
   二、 将堆顶元素和末尾元素交换此时末尾元素就是最小值
   三、将剩余n-1个元素重新构造成一个小根堆，得到n个元素的第二小值
   
   四、 反复执行二、三步，得到降序有序序列
   

时间复杂度分析

O(nlogn). 其中，构造小根堆时间复杂度为O(n)，每个元素下沉的时间复杂度为O(logn)，一共有n-1个元素需要下沉，故总共消耗的时间为O(n+(n-1)*logn)，即O(nlogn).

空间复杂度分析

O(1). 堆本身所占用的数组空间n不计算在内（空间复杂度仅计算辅助变量所开辟的空间大小），对于原地排序而言，空间复杂度为O(1).

稳定性分析

不稳定。

代码实现

def heapSort(nums):
    n = len(nums)
    # 初始建堆，从最后一个非叶子节点往上，依次做heapifyDown
    for i in range(n//2 - 1, -1, -1):
        heapifyDown(nums, i, n)
    # 堆排序（调整堆，使有序）
    for i in range(n-1, 0, -1):
        nums[0], nums[i] = nums[i], nums[0]
        heapifyDown(nums, 0, i)

def heapifyDown(nums, i, n):
    lt, rt = 2*i+1, 2*i+2
    smallest = i
    if lt < n and nums[lt] < nums[smallest]:
        smallest = lt
    if rt < n and nums[rt] < nums[smallest]:
        smallest = rt
    if smallest != i:
        nums[smallest], nums[i] = nums[i], nums[smallest]
        heapifyDown(nums, smallest, n)

标签：smallest,nums,代码,元素,堆排序,详解,复杂度,小根堆,节点
来源： https://blog.csdn.net/weixin_42365868/article/details/114112397