全部笔记的汇总贴（视频也有传送门）：中科大-凸优化

Slater条件：凸问题 P ∗ = d ∗ ？ P^*=d^*？ P∗=d∗？

1. 充分条件
2. 非凸问题

min ⁡ f 0 ( x ) s . t .    f i ( x ) ≤ 0    i = 1 , ⋯   , m x ∈ D \min f_0(x)\\s.t.\;f_i(x)\le0\;i=1,\cdots,m\\x\in D minf0​(x)s.t.fi​(x)≤0i=1,⋯,mx∈D

四种解释：几何、多目标优化、鞍点、经济学

经济学解释

x x x：产品
f 0 ( x ) f_0(x) f0​(x)：损失
f i ( x ) f_i(x) fi​(x)：第 i i i种原材料

最优： P ∗ P^* P∗

原料可交易 λ i : min ⁡ f 0 ( x ) + ∑ i = 1 m λ i f i ( x ) = g ( λ ) ≤ P ∗ \lambda_i:\min f_0(x)+\sum_{i=1}^m\lambda_if_i(x)=g(\lambda)\le P^* λi​:minf0​(x)+∑i=1m​λi​fi​(x)=g(λ)≤P∗（不同的材料肯定可以卖掉降低损失）
d ∗ = max ⁡ λ ≥ 0 g ( λ ) ≤ P ∗ （ 即 使 选 择 一 个 不 利 的 价 格 ） d ∗ = P ∗      ?      λ ∗ 为 对 偶 问 题 的 最 优 解        影 子 价 格 { f i ( x ) < 0 ， 此 时 λ i ∗ = 0 （ 当 价 格 为 0 时 ， 卖 不 卖 都 一 样 ， 有 库 存 ） 当 λ i ∗ > 0 ， 则 f i ( x ∗ ) = 0 （ 能 卖 了 赚 钱 的 全 卖 了 ， 库 存 为 0 ） d^*=\max_{\lambda\ge0}g(\lambda)\le P^*（即使选择一个不利的价格）\\d^*=P^*\;\;?\;\;\lambda^*为对偶问题的最优解\;\;\;影子价格\\\left\{ \begin{array}{l} f_i(x)<0，此时\lambda^*_i=0（当价格为0时，卖不卖都一样，有库存） \\ \\当\lambda^*_i>0，则f_i(x^*)=0（能卖了赚钱的全卖了，库存为0） \end{array} \right. d∗=λ≥0max​g(λ)≤P∗（即使选择一个不利的价格）d∗=P∗?λ∗为对偶问题的最优解影子价格⎩⎨⎧​fi​(x)<0，此时λi∗​=0（当价格为0时，卖不卖都一样，有库存）当λi∗​>0，则fi​(x∗)=0（能卖了赚钱的全卖了，库存为0）​

鞍点解释

标签：中科大,min,lec35,fi,最优,鞍点,lambda
来源： https://blog.csdn.net/qq_41485273/article/details/114003754