地震后的幻想乡

也是个概率密度函数的学习笔记。
概率密度函数就是一个函数\(f(x)\)，\(f(x)\)表示在\(x\)处取值的概率。
如果\(f(x)\)越大，在\(x\)处取值的概率就越大。
但是\(f(x)\)任意处的点值/无穷大为0。
使用如下公式描述函数在\([l,r]\)的取值可能性。
\(\int_l^rf(x)dx\)
概率密度函数必须满足：\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1\)
考虑一个sub-problem：求出原图上每条边为出现概率为\(x\)，存在生成树的概率。
这是个经典dp问题。考虑正难则反，设\(f_s\)表示\(s\)集合内连通，\(g_s\)表示\(s\)集合不连通的概率。
根据最小数原理，每次枚举一个包含最小节点的集合\(t\)转移
\(f_s=1-f_tg_{s-t}*h(t,s-t)\)
其中\(h(t,s-t)\)表示\(t\)到\(s-t\)集合内无边的概率。
显然\(h\)能够在\(O(3^n)\)的时间内预处理。
回到原题。
用归纳法可以证明，\(f_{all}\)是一个关于\(x\)的最多\(m\)次多项式。
答案要我们求出mst最大边权不超过\(x\)的概率。
设\(g(x)\)表示mst最大边权不超过\(x\)的概率，则\(g'(x)\)表示mst最大边权的概率密度函数。
这是因为设\(h(x)\)表示mst最大边权的概率密度函数，则\(g=\int_0^ah(x)dx\)
显然\(g(0)=0\)，这样子求导回来就是原函数。
于是把\(f\)设成一个多项式，然后使用\(f_s=1-f_tg_{s-t}*h(t,s-t)\)转移，最后积分即可。
但是\(h(t,s-t)\)也要设成一个多项式。

标签：幻想,概率,概率密度函数,int,边权,mst,地震,dx
来源： https://www.cnblogs.com/ctmlpfs/p/14428231.html