首页 > 其他分享> > 数学之美

数学之美

2021-02-18 21:01:09 作者：互联网

一、行列式与克莱姆法则

前言

1、定义行列式的目的

2、定义行列式的思路

3、低阶行列式

3.1 二阶行列式 3.2 三阶行列式

4、行列式的定义

4.1 全排列 4.2 逆序数 4.3 通过全排列和逆序数定义三阶行列式

5、克拉默法则

5.1 规律 5.2 定义

6、行列式C代码

二、电子信息工程虚数直观图解

1、前言

2、什么是虚数？

3、虚数的定义

4、虚数的作用：加法

5、虚数的作用：乘法

6、虚数乘法的数学证明

三、三角函数

１、求圆的半径

四、Matlab求定积分与不定积分

1、Matlab求不定积分

2、Matlab求定积分

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

一、行列式与克莱姆法则

前言

行列式是线性变换的伸缩因子。

本文想谈的是行列式在历史中是怎么演变出来的，主要以下几个问题：

定义行列式的目的是什么？
行列式出现的思路是什么？
为什么用“全排列”、“逆序数”这么晦涩的名词来定义行列式？

---------------------------------------------------------------------------------------

1、定义行列式的目的

历史上，定义行列式的目的就是为了解线性方程组。

下面这个方程组：

$\begin{cases}1x_1+2x_2=3\\3x_1+4x_2=5\end{cases}\\$

从几何上来讲，两个方程都是直线，解就是它们的交点：

通过高斯消元法可以得到唯一解：

$\begin{cases}x_1=-1\\ x_2=2\end{cases}\\$

一般的，对于二元一次线性方程组：

$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2\end{cases}\\$

如果它有唯一解，那么通过高斯消元法容易得到：

$\begin{cases}x_1=\displaystyle \frac{b_1a_{22}-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\\\quad \\ x_2=\displaystyle \frac{b_2a_{11}-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\end{cases}\\$

对于三元一次线性方程组：

$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3\end{cases}\\$

如果它有唯一解，同样可以通过高斯消元法得到：

$\begin{cases} x_1=\displaystyle\frac {b_1a_{22}a_{33}-b_1a_{32}a_{23}-b_2a_{12}a_{33}+b_2a_{32}a_{13}+b_3a_{12}a_{23}-b_3a_{22}a_{13}}{a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}}\\\quad\\ x_2=\displaystyle\frac {a_{11}b_2a_{33}-a_{11}b_3a_{23}-a_{21}b_1a_{33}+a_{21}b_3a_{13}+a_{31}b_1a_{23}-a_{31}b_2a_{13}} {a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}}\\ \quad\\x_3=\displaystyle\frac {a_{11}a_{21}b_3-a_{11}a_{32}b_2-a_{21}a_{12}b_3+a_{21}a_{32}b_1+a_{31}a_{12}b_2-a_{31}a_{22}b_1} {a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}}\end{cases}\\$

n元一次线性方程组的解可想而知，会更加复杂。

简化n元一次线性方程组的解，找出其中的规律，在这个过程中产生了行列式。

----------------------------------------------------------

2、定义行列式的思路

有点像经常说的，大胆假设、小心求证。下面我们来看看这一过程。

----------------------------------------------------------

3、低阶行列式

3.1 二阶行列式

3.1.1 定义

二阶行列式是这么定义的，交叉相乘，之后相减：

3.1.2 验证

再看看刚才的二元一次方程组的解：

$\begin{cases} x_1=\displaystyle \frac{b_1a_{22}-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\\ \quad \\x_2=\displaystyle \frac{b_2a_{11}-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\end{cases}\\$

它的解的分母都是：

$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\\$

套用刚才定义的二阶行列式的符合和规则可以得到：

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\\$

分子可以分别表示为：

$b_1a_{22}-a_{12}b_2=\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix}\\$

则线性方程的解表示为：

$\begin{cases} x_1=\displaystyle \frac{b_1a_{22}-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\\ \quad \\ x_2=\displaystyle \frac{b_2a_{11}-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\end{cases}\Longleftrightarrow\begin{cases} x_1=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\\ \quad\\ x_2=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{cases}\\$

经过验证，这样定义二阶行列式是合理的，可以达到我们预设的解线性方程组的目的。

-------------------------------

3.2 三阶行列式

3.2.1 定义

$\underbrace{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}_{三阶行列式} =\underbrace{a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}}_{运算规则}\\$

比较复杂，可以靠对角线法则进行记忆：

3.2.2 验证

有了三阶行列式的定义，则三元方程组的解：

$\displaystyle\begin{cases}x_1=\displaystyle\frac {b_1a_{22}a_{33}-b_1a_{32}a_{23}-b_2a_{12}a_{33}+b_2a_{32}a_{13}+b_3a_{12}a_{23}-b_3a_{22}a_{13}}{a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}}\\\quad\\ x_2=\displaystyle\frac{a_{11}b_2a_{33}-a_{11}b_3a_{23}-a_{21}b_1a_{33}+a_{21}b_3a_{13}+a_{31}b_1a_{23}-a_{31}b_2a_{13}} {a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}}\\\quad\\ x_3=\displaystyle\frac {a_{11}a_{21}b_3-a_{11}a_{32}b_2-a_{21}a_{12}b_3+a_{21}a_{32}b_1+a_{31}a_{12}b_2-a_{31}a_{22}b_1}{a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}}\end{cases}\\$

可以通过三阶行列式来表示：

$x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1&a_{12}&a_{13}\\ b_2&a_{22}&a_{23}\\b_3&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}\quad x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&b_1&a_{13}\\a_{21}&b_2&a_{32}\\a_{31}&b_3&a_{33}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}\quad x_3=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&b_2\\a_{31}&a_{32}&b_3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}\\$

求解类似于第一个图：

经过验证，这样定义三阶行列式也是合理的。

----------------------------------------------------------

4、行列式的定义

n阶行列式应该怎么定义？

具体的过程肯定是，数学家们（应该是凯莱、范德蒙这些先驱）废了无数草稿纸，反复验算各阶线性方程组，从中总结出来的。

为了介绍行列式的定义，先引入两个概念。

-----------------------------------------

4.1 全排列

有如下三个数字：1，2，3

总共有以下6种不重复的排列方式：

1，2，3 1，3，2 2，1，3

2，3，1 3，1，2 3，2，1

这就是全排列。

把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称排列）。

再举个例子，如下四个数字：1，2，3，4

总共有以下24种不重复的排列方式，可以自行验算。

-------------------------------

4.2 逆序数

比如有这么一个数列：3，2，5，4，1

规定：从小到大为正序，否则为逆序

比如：

上图中可以看出，没有一个逆序的，因为5是第三个数字，所以用下列的负号来表示没有逆序：t3＝0

再比如：

数列内所有的逆序数为：

逆序数定义为：

$\begin{aligned}t&=\sum_{i=1}^{5}t_i\\&=t_1+t_2+t_3+t_4+t_5\\ &=6\end{aligned}\\$

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

再比如数列：3，1，4，5，2

数列的逆序数为4，可以自行验证。

-------------------------------

4.3 通过全排列和逆序数定义三阶行列式

有了全排列和逆序数，就可以定义行列式了。

以三阶行列式为例：

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}\\$

来观察每一项的脚标，脚标第一项都是按照“1，2，3”排列的：

$a_{{\color{red}1}1}a_{{\color{red}2}2}a_{{\color{red}3}3}\quad a_{{\color{red}1}2}a_{{\color{red}2}3}a_{{\color{red}3}1}\quad a_{{\color{red}1}3}a_{{\color{red}2}1}a_{{\color{red}3}2}\\ -a_{{\color{red}1}1}a_{{\color{red}2}3}a_{{\color{red}3}2}\quad -a_{{\color{red}1}2}a_{{\color{red}2}1}a_{{\color{red}3}3}\quad -a_{{\color{red}1}3}a_{{\color{red}2}2}a_{{\color{red}3}1}\\$

而脚标的第二项是“1，2，3”的全排列：

$\begin{aligned} a_{1{\color{red}1}}a_{2{\color{red}2}}a_{3{\color{red}3}}&&1,2,3\\ -a_{1{\color{red}1}}a_{2{\color{red}3}}a_{3{\color{red}2}}&&1,3,2\\-a_{1{\color{red}2}}a_{2{\color{red}1}}a_{3{\color{red}3}}&&2,1,3\\a_{1{\color{red}2}}a_{2{\color{red}3}}a_{3{\color{red}1}}&&2,3,1\\ a_{1{\color{red}3}}a_{2{\color{red}1}}a_{3{\color{red}2}}&&3,1,2\\-a_{1{\color{red}3}}a_{2{\color{red}2}}a_{3{\color{red}1}}&&3,2,1\end{aligned}\\$

正负号怎么来的呢？是由逆序数决定的：

$\begin{aligned}a_{1{\color{red}1}}a_{2{\color{red}2}}a_{3{\color{red}3}}&&1,2,3\implies t=0&&(-1)^t=+1\\ -a_{1{\color{red}1}}a_{2{\color{red}3}}a_{3{\color{red}2}}&&1,3,2\implies t=1&&(-1)^t=-1\\ -a_{1{\color{red}2}}a_{2{\color{red}1}}a_{3{\color{red}3}}&&2,1,3\implies t=1&&(-1)^t=-1\\ a_{1{\color{red}2}}a_{2{\color{red}3}}a_{3{\color{red}1}}&&2,3,1\implies t=2&&(-1)^t=+1\\ a_{1{\color{red}3}}a_{2{\color{red}1}}a_{3{\color{red}2}}&&3,1,2\implies t=2&&(-1)^t=+1\\ -a_{1{\color{red}3}}a_{2{\color{red}2}}a_{3{\color{red}1}}&&3,2,1\implies t=3&&(-1)^t=-1\end{aligned}\\$

整个过程为：

$\left.\begin{aligned}三个数字：1,2,3\\\quad\\全排列\\\quad\\逆序数\\\end{aligned}\right\}\implies 三阶行列式\\$

三阶行列式可以定义为：

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=\sum (-1)^t a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}\\$

这种定义方式和之前的对角线定义方式得到的结果是一样的，但是可以推广到n阶。

-------------------------------

4.4 定义

n阶行列式定义为：
$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\quad&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}\\$

其值为：
$D=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}\\$

----------------------------------------------------------

5、克拉默法则

那么上面的n阶行列式的定义是否合适？我们用克拉默法则来验收。

加百列·克莱姆，瑞士数学家，发现了可以通过行列式解线性方程组的克拉默法则（克莱姆法则），让行列式成为数学界的共识，是行列式的历史源头。

下面从具体的二元、三元一次方程组说起。

-------------------------------

5.1 规律

观察二元方程组的解：

$x_{\color{red}1}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix}\color{red}{b_1}&a_{12}\\\color{red}{b_2}&a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}} \quad x_{\color{red}2}=\displaystyle \frac{\begin{vmatrix}a_{11}&{\color{red}{b_1}}\\a_{21}&{\color{red}{b_2}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\\$

再观察三元方程组的解：

$x_{\color{red}1}=\frac{\begin{vmatrix}{\color{red}{b_1}}&a_{12}&a_{13}\\ {\color{red}{b_2}}&a_{22}&a_{23}\\{\color{red}{b_3}}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}\quad x_{\color{red}2}=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&{\color{red}{b_1}}&a_{13}\\a_{21}&{\color{red}{b_2}}&a_{32}\\a_{31}&{\color{red}{b_3}}&a_{33}\end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}\quad x_{\color{red}3}=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&{\color{red}{b_1}}\\a_{21}&a_{22}&{\color{red}{b_2}}\\a_{31}&a_{32}&{\color{red}{b_3}}\end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}\\$

可以看到如下规律：

分母都是系数组成的行列式
分子也是系数组成的行列式，只是对应于不同的xi，第i列被替换为了常数项

推广到n元线性方程组的话，就是克拉默法则。

-------------------------------

5.2 定义

从n阶行列式的定义出发可以证明：

$n阶行列式的定义\implies 克拉默法则\\$

这就说明行列式的定义是成功的（从行列式的定义出发，需要先证明几个行列式的性质，然后证明克拉默法则，这里就不引用了）。

为什么要用“全排列”、“逆序数”这么晦涩的名词来定义行列式？完全是因为只有这样定义，克拉默法则才成立。

----------------------------------------------------------

6、行列式C代码

#include "stdio.h"

#include "stdlib.h"

#define MAX 9 //定义最大为9阶行列式

int Fun(int n, int a[MAX][MAX] ); //函数声明

int main()

{

int n = 0; //初始化阶数n

int i = 0, j = 0; //i,j分别表示行与列

int a[MAX][MAX] = {{0}}; //定义行列式

printf("Please input order of determinant,end with a return!");

printf("\n");

scanf("%d",&n); //读入阶数

while( n != 0) //输入为0时退出程序

{

for( i = 0; i < n; i++) //此处2次循环将行列式存入数组中

{

for( j = 0; j < n; j++)

scanf("%d", &a[i][j]);

}

printf("Value=%d\n", Fun( n, a ) );

scanf("%d", &n);

}

return 0;

}

//以下为计算行列式值的递归函数

int Fun( int n, int a[MAX][MAX] )

{

int b[MAX][MAX] = {{0}}; //定义数组b并初始化

int i = 0, j = 0, sum = 0; //i，j为行与列，sum为行列式的值

int x = 0,c = 0,p=0; //用x判断加与减，c,p为中间变量

if(n == 1)

return a[0][0];

for(i = 0;i < n; i++) //此处大循环实现将余子式存入数组b中

{

for(c = 0;c < n-1; c++)

{

for(j = 0;j < n-1;j++)

{

if (c < i){ //借助c判断每行的移动方法

p = 0; //当p=0时，行列式只向左移，即消去对应的第一列的数

}

else{ //否则行列式左移后再上移

p = 1;

}

b[c][j] = a[c+p][j+1];

}

if(i % 2 == 0){ //i+j（此时j=0，故只考虑i）为偶数，加法预算

x = 1;

}

else{ //i+j为奇数，减法运算

x = (-1);

}

sum += a[i][0] * Fun(n - 1, b ) * x; //计算行列式的值

}

return sum; //将值返回

}

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

二、电子信息工程虚数直观图解

1、前言

我一直觉得虚数（imaginary number）很难懂。中学老师说，虚数就是-1的平方根。

可是，什么数的平方等于-1呢？计算器直接显示出错！一直都没有真正的理解和认识虚数。

在电子信息工程中充斥着虚数，谁能解释，虚数到底是什么？它有什么用？举个高频电子线路中的例子，如下图：

Ic电流超前电压一个角度，IL电压超前电流一个90度，Ic和IL上面有一个点，表示矢量。
bb'输入阻抗Zbb'=600Ω，中心频率f0=83MHz，cc'输出阻抗Zcc'=R4=50Ω（天线），Vbb'=V，求取这里的电感和电容值，使得电路的阻抗匹配。（注：在电子行业中，i 通常用来表示电流，虚数单位用 j来表示。）

解：Ic=V/(R4+1/jXc3)，若存在一个数，它的倒数等于它的相反数（或者它的倒数的相反数为其自身），这个数是什么形式？根据这一要求，可以给出方程 -j = (1/j) 。由此得Ic=V/(R4-jXc3)
将上式的上下各乘以R4+jXc3，得Ic=V(R4+jXc3)/[(R4)^2-j^2(Xc3)^2]
因j^2=-1，整理上式最终得Ic=V(R4+jXc3)/[(R4)^2+(Xc3)^2]。下面的推算略啦。

http://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/有一篇非常棒的文章《虚数的图解》，这是下文的最终出处。读后恍然大悟，使我终生受益，由是感慨教学方式的不同产生迥异的结果。原来虚数这么简单，一点也不奇怪和难懂！

----------------------------------------------------------

2、什么是虚数？

首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。

这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。

这相当于两次逆时针旋转90度。

因此，我们可以得到下面的关系式：

(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)

如果把+1消去，这个式子就变为：

　　(逆时针旋转90度)^2 = (-1)

将"逆时针旋转90度"记为 i ：

　　i^2 = (-1)

这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量；下图中虚数的模=A点到O点的距离，根据勾股定理可得。

----------------------------------------------------------

3、虚数的定义

既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i 表示任何实数的旋转状态。

将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。

只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , 1i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。

数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , 1i ) 表示成 1 + 1i 。这种表示方法就叫做虚数（complex number），其中 1 称为实数部，1i 称为虚数部。

为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。

----------------------------------------------------------

4、虚数的作用：加法

虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。

比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？

根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。这就是虚数加法的物理意义。

----------------------------------------------------------

5、虚数的作用：乘法

如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。

比如，一条船的航向是 3 + 4i 。如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？

45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：

　　( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。

如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：

　　( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

----------------------------------------------------------

6、虚数乘法的数学证明

为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？下面就是它的数学证明，实际上很简单。

任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。

假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：

　　a + bi = r1 * ( cosα + isinα )

　　c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )

这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )

展开后面的乘式，得到cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )

根据三角函数公式，上面的式子就等于cos(α+β) + isin(α+β)

所以，( a + bi )( c + di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )

这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

三、三角函数

１、求圆的半径

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

四、Matlab求定积分与不定积分

MATLAB中文论坛

图解数学（直观）

1、Matlab求不定积分

1）首先举一个比较简单的例子，来验证matlab求不定积分的功能。

求函数“xe^x”的不定积分。

我们要用到"int"命令，具体操作见下图。

-------------------------------

２）函数“xe^x”的不定积分的结果见下图

实际上，我们要求f(x)的不定积分，只需在matlab中输入如下命令：

*****命令开始*****

syms x C

int( f(x) ) +C

*****命令结束******

当然上面命令中的f(x)为你自己指定

我们还知道一些函数的被积函数是无法用初等函数表示的，比如函数“sin(x)/x".

下面我们用matlab来求一下函数“sin(x)/x".的不定积分。

看下图的结果.

----------------------------------------------------------

2、Matlab求定积分

１）首先举一个比较简单的例子

求函数"x^2*e^x"在（0到1）上的积分

输入命令：

*****命令开始*****

syms x

int( x^2*exp(x), 0, 1 )

*****命令结束******

命令见下图：

-------------------------------

2）函数“x^2*e^x” 在（0到1）的定积分的结果见下图

实际上，我们要求f(x)的在（a到b）的定积分，只需在matlab中输入如下命令：

*****命令开始*****

syms x

int( f(x) , a, b )

*****命令结束******

当然上面命令中的f(x)为你自己指定

a为积分下限，b为积分上限。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

标签：定义,int,之美,旋转,数学,行列式,----------------------------------------------------------,虚
来源： https://blog.csdn.net/liht1634/article/details/113853107