高等数学 第一章 函数、极限、连续 第三节 函数的连续性

(一)连续性的概念

　　定义1、若

 则称y=f(x)在点x₀处连续

(二)间断点及其分类

　　1、间断点的定义

　　若f(x)在x₀的某去心领域内有定义，但在x₀处不连续，则称x₀为f(x)的间断点

　　2、间断点的分类

　　1)第一类间断点：左右极限均存在的间断点

• 可去间断点：左极限=右极限
• 跳跃间断点：左极限≠右极限

　　2)第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

(三)连续性的运算与性质

　　定理1、连续函数的和、差、积、商仍为连续函数

　　定理2、连续函数的复合仍为连续函数

　　定理3、基本初等函数在其定义域内是连续的

　　定理4、初等函数在其定义区间内是连续的

(四)闭区间上连续函数的性质

　　(1)若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界

　　(2)若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值

　　(3)若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，则对f(a)与f(b)任意数C，至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=C

　　(4)若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)*f(b)=0，则必存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0

标签：函数,第三节,定理,极限,间断,连续,x0,高等数学,连续函数
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