Lec03 变换

文章目录

• Lec03 变换
• • 为什么学习变换
  • 2D变换
  • • 线性变换（Linear Transforms）
    • 非线性变换
  • 齐次坐标（Homogeneous Coodinate）
  • • 仿射变换（Affine Transformation）
  • 变换操作

为什么学习变换

• 模型变换（Modeling）：Translation/Rotation/Scaling
• 视图变换（Viewing）：3D-to-2D projection

2D变换

线性变换（Linear Transforms）

线性变化 = 同维度矩阵

[ x ′ y ′ ] = [ a b c d ] [ x y ] \begin{bmatrix} x^{\prime}\\y^{\prime} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} [x′y′​]=[ac​bd​][xy​]

x ′ = M x \bold{x^{\prime}}=\bold{M}\bold{x} x′=Mx

1. 缩放（Scale）： [ x ′ y ′ ] = [ s x 0 0 s y ] [ x y ] \begin{bmatrix} x^{\prime}\\y^{\prime} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} s_x&0\\ 0&s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} [x′y′​]=[sx​0​0sy​​][xy​]（记作 S s x , s y S_{s_x,s_y} Ssx​,sy​​）

2. 反射（Reflection）： [ x ′ y ′ ] = [ − 1 0 0 1 ] [ x y ] \begin{bmatrix} x^{\prime}\\y^{\prime} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} [x′y′​]=[−10​01​][xy​]（以y轴为对称轴）

3. 切变（Shear）： [ x ′ y ′ ] = [ 1 a 0 1 ] [ x y ] \begin{bmatrix} x^{\prime}\\y^{\prime} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&a\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} [x′y′​]=[10​a1​][xy​]

（千层饼被推了一下：越往上变化越多）

4. 旋转（Rotate）： [ x ′ y ′ ] = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] [ x y ] \begin{bmatrix} x^{\prime}\\y^{\prime} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} [x′y′​]=[cosθsinθ​−sinθcosθ​][xy​]（记作 R ( α ) R(\alpha) R(α)）

   特殊点：
   

   这里的旋转，默认绕原点逆时针（CCW）旋转

非线性变换

平移（Translation）： x ′ = x + t x x^{\prime}=x+t_x x′=x+tx​， y ′ = y + t y y^{\prime}=y+t_y y′=y+ty​（记作 T t x , t y T_{t_x,t_y} Ttx​,ty​​）无法写成矩阵形式！！所以平移不是线性变换。

Is there a unified way to represent all transformations?

齐次坐标（Homogeneous Coodinate）

上述问题的解决方案就是齐次坐标！

加入第三个坐标（w-coodinate）：

• 2D point = ( x , y , 1 ) ⊤ (x,y,1)^{\top} (x,y,1)⊤
• 2D vector = ( x , y , 0 ) ⊤ (x,y,0)^{\top} (x,y,0)⊤

平移变换的矩阵形式：
[ x ′ y ′ w ′ ] = [ 1 0 t x 0 1 t y 0 0 1 ] [ x y w ] = [ x + t x y + t y w ] \begin{bmatrix} x^{\prime}\\y^{\prime}\\w^{\prime} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0&t_x\\ 0&1&t_y\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\w \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x+t_x\\y+t_y\\w \end{bmatrix} ⎣⎡​x′y′w′​⎦⎤​=⎣⎡​100​010​tx​ty​1​⎦⎤​⎣⎡​xyw​⎦⎤​=⎣⎡​x+tx​y+ty​w​⎦⎤​
解释：对于点，平移后坐标改变，故 w w w为1，保持 t x , t y t_x,t_y tx​,ty​的效用；而对于向量，由于具有平移不变性，所以 w w w为0，消除了 t x , t y t_x,t_y tx​,ty​的效用。

0和1背后的深层次原因：

• vector ± \pm ± vector = vector

• point ± \pm ± vector = point

• point - point = vector

• point + point = middle point (w adds up to 2)

  因为在齐次坐标系中， [ x y w ] i s   t h e   2 D   p o i n t [ x / w y / w 1 ] , w ≠ 0 \begin{bmatrix} x\\y\\w \end{bmatrix} {\rm is\ the\ 2D\ point} \begin{bmatrix} x/w\\y/w\\1 \end{bmatrix},w\neq0 ⎣⎡​xyw​⎦⎤​is the 2D point⎣⎡​x/wy/w1​⎦⎤​,w​=0

仿射变换（Affine Transformation）

仿射映射 = 先线性映射 + 后平移

[ x ′ y ′ ] = [ a b c d ] [ x y ] + [ t x t y ] \begin{bmatrix} x^{\prime}\\y^{\prime} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} t_x\\t_y \end{bmatrix} [x′y′​]=[ac​bd​][xy​]+[tx​ty​​]

用齐次坐标表示（囊括了所有变换）：
[ x ′ y ′ 1 ] = [ a b t x c d t y 0 0 1 ] [ x y 1 ] \begin{bmatrix} x^{\prime}\\y^{\prime}\\1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a&b&t_x\\ c&d&t_y\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\1 \end{bmatrix} ⎣⎡​x′y′1​⎦⎤​=⎣⎡​ac0​bd0​tx​ty​1​⎦⎤​⎣⎡​xy1​⎦⎤​

变换操作

• 逆变换（Inverse transformation）： M − 1 M^{-1} M−1

• 组合变换（Composite transformation）：注意顺序！后执行的变换矩阵放在最前端，也即：变换矩阵是从右往左执行的。

  当然，我们也可以提前把多个矩阵相乘，得到一个组合变换矩阵。

• 变换分解（Decomposing complex transforms）：

  例：如何将物体绕给定的一点 c \bold{c} c旋转？

变换矩阵： T ( c ) ⋅ R ( α ) ⋅ T ( − c ) \bold{T(c)}\cdot\bold{R(\alpha)}\cdot\bold{T(-c)} T(c)⋅R(α)⋅T(−c)

标签：prime,begin,end,Lec03,point,变换,图形学,bmatrix,GAMES101
来源： https://blog.csdn.net/erchan/article/details/113814560