醉醺醺的幻想乡

二次方流量考虑导数。
设\(f(x)\)表示每条边单位流量费用\(\leq x\)的最大流，答案就是对这个函数进行积分。
\(f\)是个分段一次函数。这是因为边权费用导数\(2ax+b\)是个关于\(x\)的一次函数。
\(f\)是上凸的。考虑最小割，一个割的代价在\(x\)初是个一次函数。
由于\(a,b\leq 3\)，所以斜率只有\(3n\)种。
所以\(f\)是个段数不超过\(3n\)的分段函数。
考虑怎么求出\(f\)。可以分治，我们判定当前最左边的一次函数\(a\)和最右边的一次函数\(b\)交点\((c,d)\)，考虑\(c\)点的值是否为\(d\)。
如果是，则返回，否则中间还有新的半平面。需要得到\(c\)处的直线才能继续递归。
考虑如何得到某个点\(x\)处的直线。
根据定义，每条边\(i\)的流量上界重定为\(\min(\frac{x-b_i}{2a_i},c_i)\)。
用最大流算法跑实数最大流。
对于一条满流的边（最小割所在边）。
如果\(a_i=0\)且\(b\leq x\)，则流量\(+=c_i\)
如果\(2a_ic_i+b_i\leq x\)，则这条边的单位费用不会超过\(x\)，流量\(+=c_i\)
否则如果\(x\)增加\(y\)，则费用\(+=\frac{y}{2a_i}\)
一次函数的斜率加上\(\frac{1}{2a_i}\)。
同时发现\(\min(\frac{x-b_i}{2a_i},c_i)\)只有在\(x\geq b_i\)才能\(\geq 0\)
所以截距\(-=\frac{b_i}{2a_i}\)
感觉好玄学。

标签：幻想,frac,一次函数,leq,流量,2a,醉醺醺,考虑
来源： https://www.cnblogs.com/ctmlpfs/p/14401532.html