快速证明199的200次方大于200的199次方

在知乎上看到一个问题：

\[请问 199^{200} 与 200^{199}哪个更大？ \]

然后回想起高中时期做过类似的证明。

已知 \(e < a < b\) ，证： \(a^b > b^a\)

证明过程如下：

\(a^b > b^a\) 等价于 \(e^{b*lna} > e^{a*lnb}\)，即 \(b * lna > a * lnb\)

只需证明 \(b * lna > a*lnb\) 即说明 \(a^b > b^a\)。

令 \(f(x) = xlna - alnx\)，得 \(f(a) = 0\)，\(f^{'} = lna - \frac{a}{x}\) ，当 \(a < x < b\) 时，\(f^{'} > 0\)，故 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上单调递增。

由题得 \(b > a\)，故 \(f(b) > f(a) = 0\)，即 \(f(b) > 0\)。

所以 \(blna - alnb > 0\)，即 \(a^b > b^a\)。

所以代入 \(a = 199,b = 200\)，可知 \(199^{200} > 200^{199}\)，所以不管\(a,b\) 取何值，只要满足大于\(e\) 同样成立。

证毕；

标签：200,199,证明,次方,lna,lnb
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