《深入理解计算机系统》第二章：整数的运算
作者：互联网
《深入理解计算机系统》第二章：整数的运算
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前言
我将在本篇文章，详细回顾一下整数的运算
一、加法运算
1.1 无符号加法
先来看一个溢出的例子：
上边的例子，255+1，本应该等于256，但是256超出了unsigned short的表示范围，所以发生了溢出。下面看一下无符号数加法的公式：
下面定义了一个表示w位的无符号数。
下面我们用bit位加法重点看一下溢出的情况：
我们可以通过uadd_ok函数来实现对无符号加法是否溢出的判断，函数的数学证明如右侧所示：
1.2 有符号加法
我们定义了一个表示w位的有符号数：
无符号的加法只有正溢出一种情况，而有符号数的加法则有正溢出和负溢出两种情况。有符号加法的计算公式如下：
1.3 加法溢出
正溢出：
如何判断有符号数是否发生溢出现象：
1、两个正数相加得到一个负数，则说明发生了正溢出
2、两个负数相加得到一个正数，则说明发生了负溢出
1.4 CSAPP加法逆元
CASPP原书中引入了加法逆元的概念。
无符号数的加法逆元表示公式如下：
有符号数的加法逆元如下：
需要注意的是，当X取TMin的时候，采用负溢出的方法来表示逆元。
二、乘除运算
2.1 截断
然而当定义z为w位时，2w位会超过w位数字的表示范围，会发生截断，留下低w位：
有符号数的乘法比无符号数的乘法多了一步，就是将乘法运算的结果最后转成补码。
2.2 三位数乘法
我们通过上图发现，上下相邻两位，虽然数值不一样，但是截断之后的结果是一样的。具体推导公式如下：
2.3 乘除法的优化
假如做一次移位操作需要一个时钟周期，则乘法运算会需要11-13个时钟周期，虽然说现在硬件做了优化，但是还是需要三个时钟周期，即使这样也是比移位运算要慢很多，所以在计算机的运算中，乘除法实际上使用的是移位、加法以及减法的方法进行运算的。
乘法操作转换成左移，下图看一下移位运算符：
下面给出数学证明：
下面看一个乘法优化的例子：
看完乘法的例子，我们再来看一下除法：
右移运算：对于无符号数的右移操作采用逻辑右移；对于有符号数的操作采用算数右移，算数移位操作和逻辑移位操作的区别在于，有符号数的算数右移运算要考虑符号位，如下图所示：
除法操作中遇到除不尽的情况，选择向零舍入
为了保证除法操作向零摄入，对于有符号数的除法操作：
当X < 0时，让X += 2^k - 1，然后再进行右移
总结
整数的运算中，加减法是常规操作，但是乘除法里面，因为计算机做乘除法需要消耗十几个时钟周期，效率远远小于做移位运算和加减法，所以在计算机中，乘除法的运算会被分解成移位以及加减法。
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