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群论第二章考前复习总结

作者:互联网

第二章考前复习总结

第二章考前复习总结
1.1节 群
1.对称变换:保持系统不变的变换。(背)
2. 群是一个集合,其中定义了元素的“乘积”法则,这个集合G满足4个条件:封闭性、结合律、存在恒元、逆元,这个集合就称为群。(背)
U(n)群:全体n维幺正矩阵的集合。
O(n)群:全体n维实正交矩阵的集合。
6)乘积的逆:
9)有限群的阶:有限群中的元素数目
4.循环群及其生成元
1)循环群:由一个元素 R 及其幂次构成的有限群,记作Cn。(背)
1)元素R 的周期:由有限群的任一元素 R 及其幂次生成的集合。
2)有限群的生成元:有限群的群元素可以由最小数目个群元素的乘积生成
3)有限群的秩:生成元的个数
4)有限群生成元的选择并不唯一,但秩不变。
6.有限群的重排定理
1)复元素:把有限群部分元素的集合{R1,R2,,Rm}看作一个整体
2)群的重排定理(考试简答题)
7.同构
3)循环群的乘法表
4)四阶群(即有4个元素的有限群)只有两种:若四阶群中含四阶元素,则为C4群、若四阶群中不含四阶元素,则为V4D2
V4D2群:一个恒元加3个2阶元素。其为:
5)准确到同构,六阶群只有两种:若含六阶元素,则是C6群、若不含六阶元素,则是D3群。
D3群是最简单的非阿贝尔群。
6)正N边形对称变换群——DN
DN群的乘法表
1.2节 群的各种子集
1.子群
2)判断有限群的子集是否构成子群,只需检验子集是否满足封闭性
4)任一元素的周期构成循环子群
5)寻找有限群的子群的最好办法:(背)
a.列出全部循环子群
b.把若干个循环子群并起来
c.看它们是否满足封闭性(判断是否满足封闭性:判断其中每一个元素的周期是否都在里面,再判断某两个元素的乘积是否会出去)。恒元、拉定理、封闭性。
6)常见群的子群的例子。注意枚举
2.陪集和不变子群
1) 左陪集 和 右陪集
3)拉格朗日定理:子群的阶数是群G的阶数的因子(背,考试简答题),g=dh,其中d称为子群H的指数。
4)不变子群
a.阿贝尔群的所有子群都是不变子群(背)。
b.指数为2的子群一定是不变子群(背)。
c.不变子群与类的关系:不变子群必然由若干个完整的类组成 (背)。由若干个完整的类组成的若是一个子群,则必然是不变子群。(这个性质可以用来判断不变子群)
6)商群
7)从乘法表找子群的陪集:
(考试和作业中经常有这个题,随便给一个群进行分析,记住这个例题的过程)求D3群的所有子群及其陪集,判断不变子群:
3.共轭元素和类
1)共轭
定义:对群G中的两个元素RR,如果在群G中存在一个元素S,使得RR可以通过R=SRS1联系起来,则称RR共轭,记为RR (背)
2)类
a.定义:所有相互共轭的元素形成的集合
3)相逆类、自逆类
4)用乘法表判断两元素是否共轭、用乘法表找出类:
5)系统对称变换群DN群的类
a.等价轴:一般地,若两个同次轴的正方向可以通过对称群中的元素联系起来,则这两个转动轴称为等价轴。(背)
b.双向轴
6)寻找有限群的类和不变子群的步骤
a.不变子群与类的关系:不变子群必然由若干个完整的类组成 (背)。由若干个完整的类组成的若是一个子群,则必然是不变子群。(这个性质可以用来判断不变子群)
b.寻找有限群的类的步骤:
c.寻找有限群的不变子群的步骤:
1.3节 群的同态关系
1.群的同态:
2.同态核定理:若G‘与G同态 ,则与G‘恒元对应的G中元素的集合H构成群G的不变子群
3.集合G‘与群G的同构或同态
1.4节 正多面体的固有对称变换群
1.固有转动:三维空间中保持坐标原点不变、保持手性不变、保持任意两点间的距离不变的转动称为固有转动。
2.非固有转动:若转动后再做空间反演
3.点群:让体系的一个点保持位置不变的操作构成的变换群。
4.固有点群:固有转动的集合,包括CN群、DN群及正多面体固有对称变换群。
5.非固有点群:由固有转动和非固有转动的集合
6.正多面体
1)定义:各个面都是全等的正多边形的多面体
a.如果两个正多面体互相对偶,则它们的对称变换群相同。(背)
c.正N面体的固有点群的阶数为2L。L:棱数
7.正四面体固有点群—T群
8.立方体和正八面体固有点群—O群
9.正十二 、 二十面体固有点 群—I 群
1.5节 群的直乘和非固有点群
1.群的直接乘积
直乘群:
c.直乘群的性质:
2.非固有点群
a.非固有点群G所包含的所有固有转动元素形成的集合H是群G的子群;子群H的指数为2,故它是非固有点群G的不变子群。
b. 非固有点群分为两类:
d.由一个固有点群G得到非固有点群G的方法(背):TOC

1.1节 群

1.对称变换:保持系统不变的变换。(背)

正三角形所有对称变换的集合构成D3群,,所有对称变换只有6个:

2. 群是一个集合,其中定义了元素的“乘积”法则,这个集合G满足4个条件:封闭性、结合律、存在恒元、逆元,这个集合就称为群。(背)

任何两个元素相乘还在这个集合中(背)
任意元素乘恒元等于这个元素(背)
元素乘逆元等于恒元。(背)

U(n)群:全体n维幺正矩阵的集合。

幺正:

O(n)群:全体n维实正交矩阵的集合。

正交:,实正交:矩阵元是实数

6)乘积的逆:
9)有限群的阶:有限群中的元素数目

4.循环群及其生成元

1)循环群:由一个元素 R 及其幂次构成的有限群,记作Cn。(背)

n:循环群的阶,即有限群的元素个数。
R:循环群的生成元

1)元素R 的周期:由有限群的任一元素 R 及其幂次生成的集合。
2)有限群的生成元:有限群的群元素可以由最小数目个群元素的乘积生成
3)有限群的秩:生成元的个数
4)有限群生成元的选择并不唯一,但秩不变。


在验证B=DA这种关系时,正三角形的三个字母必须画成:
这种情况。

6.有限群的重排定理

1)复元素:把有限群部分元素的集合{R1,R2,,Rm}看作一个整体
2)群的重排定理(考试简答题)

T是群G = {E, R, S, …}中任一确定元素,则下面三个集合与原群G相同 (背)

TG=GT=G1=G(背)

复元素的逆是每个元素取逆

7.同构

元素是对应的,在这种对应规则下,元素的乘积也是对应的。群G和G同构,
记为GG
(背)

3)循环群的乘法表

C2V2

4)四阶群(即有4个元素的有限群)只有两种:若四阶群中含四阶元素,则为C4群、若四阶群中不含四阶元素,则为V4D2
V4D2群:一个恒元加3个2阶元素。其为:

5)准确到同构,六阶群只有两种:若含六阶元素,则是C6群、若不含六阶元素,则是D3群。
D3群是最简单的非阿贝尔群。

二阶群只有C2群,三阶群只有C3群、四阶有两个:C4群、V4D2群、五阶群只有C5,由这些群的乘法表知(乘法表沿对角线对称),二阶、三阶、四阶、五阶的群都是阿贝尔群

6)正N边形对称变换群——DN

1个N次轴,N个二次轴。
绕N次轴转动的对称变换的集合:

绕N个二次轴转动的对称变换的集合:

DN群有2N个元素

DN群的乘法表

(背,重要)TN=Sj2=ETmSj=Sj+m
由上面乘积规则可以得到乘法表。
DN群的阶为2N,秩为2,生成元可取T,S0

1.2节 群的各种子集

1.子群

2)判断有限群的子集是否构成子群,只需检验子集是否满足封闭性
4)任一元素的周期构成循环子群
5)寻找有限群的子群的最好办法:(背)
a.列出全部循环子群
b.把若干个循环子群并起来
c.看它们是否满足封闭性(判断是否满足封闭性:判断其中每一个元素的周期是否都在里面,再判断某两个元素的乘积是否会出去)。恒元、拉定理、封闭性。
6)常见群的子群的例子。注意枚举

我通过上面“寻找有限群的子群的最好办法”求出了确实这些群的子群是这些。

2.陪集和不变子群

1) 左陪集 和 右陪集

子 群H 记 为

任取群G中不在子群H中的元素Rj,把它左乘或右乘到子群H上(背)

3)拉格朗日定理:子群的阶数是群G的阶数的因子(背,考试简答题)g=dh,其中d称为子群H的指数

群的阶数为素数的群没有非平庸子群
群的阶数为素数的群只有一种,就是循环群

4)不变子群

子群H的所有的左陪集都和对应的右陪集相等(背),即对群G中不在子群H中的任意一个元素Rj,都有RjH=HRj,则此子群H是原群G的不变子群H

a.阿贝尔群的所有子群都是不变子群(背)
b.指数为2的子群一定是不变子群(背)
c.不变子群与类的关系:不变子群必然由若干个完整的类组成 (背)。由若干个完整的类组成的若是一个子群,则必然是不变子群。(这个性质可以用来判断不变子群)
6)商群

商群:不变子群H及其所有不同的陪集,构成一个复元素的集合,定义复元素的乘积规则:(RjH)(RkH)=(RjRk)H这个由复元素构成的群称为群G关于不变子群H的商群,记作G/H
商群的恒元是不变子群H。
商群的阶数是不变子群H的指数。

7)从乘法表找子群的陪集:

群G的乘法表中与子群H的元素有关的各列中,每一行的元素要么构成子群,要么构成左陪集;G的乘法表中与子群H的元素有关的各行中,每一列的元素要么构成子群,要么构成右陪集。(背)

(考试和作业中经常有这个题,随便给一个群进行分析,记住这个例题的过程)求D3群的所有子群及其陪集,判断不变子群

先由拉定理知,子群的阶数只能是2或3.
当子群阶数是3时,由于3阶群只有一种:C3群,而由于C3群是一个恒元加两个三阶元素,故这里的3阶子群只能是{E,D,F},D,F才是三阶元素。由于{E,D,F}指数是2,故其是不变子群。
当子群的阶数是2时,除了恒元外,为满足封闭性,另一个元素一定是二阶元素,故这里的2阶子群是{E, A}、{E, B}、{E, C}。

注意分析子群阶数、元素的阶数。

由乘法表可以写出{E, A}、{E, B}、{E, C}的陪集,由于所有左陪集和右陪集并不对应相等,故它们不是不变子群。

3.共轭元素和类

1)共轭
定义:对群G中的两个元素RR,如果在群G中存在一个元素S,使得RR可以通过R=SRS1联系起来,则称RR共轭,记为RR (背)
2)类
a.定义:所有相互共轭的元素形成的集合
3)相逆类、自逆类

中的所有元素的逆组成一个集合,这个集合构成类,记作类。类与类称为相逆类(背)
自逆类与类重合(背)

4)用乘法表判断两元素是否共轭、用乘法表找出类:

关于对角线对称的元素在一个类中,由此就可以根据乘法表找出类。

5)系统对称变换群DN群的类

元素R是绕n方向转动2pi/N角的变换, 元素S将n方向转到m方向
表示绕m方向转动2pi/N角的变换,m方向显然也是系统的N次转动轴

a.等价轴:一般地,若两个同次轴的正方向可以通过对称群中的元素联系起来,则这两个转动轴称为等价轴。(背)

注意,这里等价轴定义中说的的对称群是这个形状对应的对称群

b.双向轴

一个轴的正反两个方向可以通过对称群中的元素联系起来(背)

D4群有5个类:恒元一个类,绕四次轴转动分为两个类,绕二次轴转动也分为两个类。
恒元自成一类{E}。
绕四次轴正、逆转pi/2的T和T3构成一类,绕四次轴正、逆转pi的T2构成一类{T2}。
绕二次轴对角线转动的S0和S2构成一类,绕对边中点连线转动的S1和S3构成一类

因为“绕双向轴正转、逆转相同角度的变换互相共轭”,四次轴是 双 向轴,故绕四次轴正、逆转pi/2的T和T3构成一类(正转270度就是逆转90度),绕四次轴正、逆转pi的T2构成一类{T2}。
S0和S2可以通过对称群中的元素“转90度”而等价,S1和S3也可以通过对称群中的元素“转90度”而等价。但S0和S1这两种不等价,前面“同次轴不一定是等价轴”有解释。由于绕等价轴转相同角度的变换互相共轭,故S0和S2构成一类,S1和S3构成一类

6)寻找有限群的类和不变子群的步骤
a.不变子群与类的关系:不变子群必然由若干个完整的类组成 (背)。由若干个完整的类组成的若是一个子群,则必然是不变子群。(这个性质可以用来判断不变子群)
b.寻找有限群的类的步骤:

法一:从乘法表判断两元素是否共轭、从乘法表来寻找
法二:从“同类元素的阶相同”来寻找
(1)先确定每个元素的阶(即判断多少次方等于E),
(2)在阶数相同的元素中判断其是否共轭,从而找到所有共轭类。

c.寻找有限群的不变子群的步骤:

法一:根据乘法表和不变子群的性质、定义(所有左陪集都和对应的右陪集相等)来寻找,见不变子群一节的7)从乘法表找子群的陪集
法二:根据“不变子群必然由若干个完整的类组成(背)”来寻找。
**(1)将若干个类并起来
(2)判断其是否构成子群(若构成子群,则是不变子群):

法三:若已经知道了子群,则从子群中根据“不变子群必然由若干个完整的类组成(背)”来寻找。
例 :D4 群的非平 庸 不变子 群 {E, T2} {E, T, T2, T3} {E, T2, S0, S2} {E, T2, S1, S3}


已知乘积规则中的前两个公式TN=Sj2=ETmSj=Sj+m,就能推导出其他两个乘积规则,所以S0S2可以推导出来。
系统对称变换群DN
N为偶数时,即N=2n:一个N次轴是双向轴,N个二次轴分成两组(对角线和对边中点连线),分别互相等价。比如D4群.
N为奇数时,即N=2n+1:一个N次轴是双向轴,N个二次轴互相等价。

1.3节 群的同态关系

1.群的同态:

G与群G中的元素是一多对应的,在这种对应规则下,元素的乘积也是一多对应的。(背)
G与群G同态,记为GG, G中的元素更多 (因为群G与群G中元素是”一多对应的“,背,重要)

2.同态核定理:若G‘与G同态 ,则与G‘恒元对应的G中元素的集合H构成群G的不变子群

3.集合G‘与群G的同构或同态

集合G‘和群G中的元素是一一或一多对应的,在这种对应规则下,元素的乘积也是一一或一多对应的,则一堆元素的集合G‘也是一个群,是与群G同构或同态的群。(背)

1.4节 正多面体的固有对称变换群

1.固有转动:三维空间中保持坐标原点不变、保持手性不变、保持任意两点间的距离不变的转动称为固有转动。

2.非固有转动:若转动后再做空间反演

3.点群:让体系的一个点保持位置不变的操作构成的变换群。

4.固有点群:固有转动的集合,包括CN群、DN群及正多面体固有对称变换群。

5.非固有点群:由固有转动和非固有转动的集合

O(3)群:三维空间的所有转动+空间反演。故非固有点群是O(3)群的有限子群。

6.正多面体

1)定义:各个面都是全等的正多边形的多面体

正多面体只有5种:4,6,8,12,20.
正多面体的所有对称变换群只有这三种:T、O、I群

a.如果两个正多面体互相对偶,则它们的对称变换群相同。(背)

正四面体与自己对偶,是自对偶图形;正六面体的对偶图形是正八面体,注意互相对偶;正十二面体的对偶图形是正二十面体。

c.正N面体的固有点群的阶数为2L。L:棱数

7.正四面体固有点群—T群



T群有12个元素

绕4个三次轴正、逆向转动的8个元素分成两类:绕4个三次轴正转2pi/3的元素在一个类中,逆转2pi/3的元素在一个类中。

(由于4个三次轴等价,绕等价轴转相同角度的变换在一个类中)

故T群有4个类。前2个类是自逆类,后2个类是相逆类。

8.立方体和正八面体固有点群—O群

9.正十二 、 二十面体固有点 群—I 群

1.5节 群的直乘和非固有点群

1.群的直接乘积

直乘群:

设H1 和H2 是 群G 的两个子群满足三个条件
(1) 除 恒 元R1=S1=E外 ,子 群H1H2无 公 共元素
(2) 分 属 两子群的元素乘积可对易, 即 若 RiH1,SjH2, 则 RiSj=SjRi
(3)群G的所有元素都可以写成这两个子群元素相乘的形式
则群G称为H1H2直乘群 , 记作

c.直乘群的性质:

2.非固有点群

非固有转动变换可以看作是固有转动变换和空间反演i的乘积,而i可以与任何转动变换对易

a.非固有点群G所包含的所有固有转动元素形成的集合H是群G的子群;子群H的指数为2,故它是非固有点群G的不变子群
b. 非固有点群分为两类:

I型非固有点群:包含空间反演i的非固有点群G
P型非固有点群:不包含空间反演i的非固有点群G

d.由一个固有点群G得到非固有点群G的方法(背):

构成I型非固有点群G:将固有点群G直乘V2=E,i构成I型非固有点群G。(背)
构成P型非固有点群G:若此固有点群G包含指数为2的不变子群H,则将固有点群G的所有陪集元素乘i,再和H的元素一起构成P型非固有点群G(背)



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来源: https://www.cnblogs.com/quantum-condensed-matter-physics/p/14288487.html