网络流
作者：互联网
基础知识
网上博客有很多，这里就没必要再赘述了。
贴一份 \(yxc\) 的笔记：
1. 基本概念
1.1 流网络，不考虑反向边
1.2 可行流，不考虑反向边
1.2.1 两个条件：容量限制、流量守恒
1.2.2 可行流的流量指从源点流出的流量 - 流入源点的流量
1.2.3 最大流是指最大可行流
1.3 残留网络，考虑反向边，残留网络的可行流f' + 原图的可行流f = 原题的另一个可行流
(1) |f' + f| = |f'| + |f|
(2) |f'| 可能是负数
1.4 增广路径
1.5 割
1.5.1 割的定义
1.5.2 割的容量，不考虑反向边，“最小割”是指容量最小的割。
1.5.3 割的流量，考虑反向边，f(S, T) <= c(S, T)
1.5.4 对于任意可行流f，任意割[S, T]，|f| = f(S, T)
1.5.5 对于任意可行流f，任意割[S, T]，|f| <= c(S, T)
1.5.6 最大流最小割定理
(1) 可以流f是最大流
(2) 可行流f的残留网络中不存在增广路
(3) 存在某个割[S, T]，|f| = c(S, T)
1.6. 算法
1.6.1 EK O(nm^2)
1.6.2 Dinic O(n^2m)
1.7 应用
1.7.1 二分图
(1) 二分图匹配
(2) 二分图多重匹配
1.7.2 上下界网络流
(1) 无源汇上下界可行流
(2) 有源汇上下界最大流
(3) 有源汇上下界最小流
1.7.3 多源汇最大流
最大流
个人认为比较重要的几个点就是：
- 建的是原图的残留网络
每次增大就相当于减小残留网络中的容量。
- 分层思想
保证流的顺序。
- 当前弧优化
别的我不知道，我只知道如果没有它你会死翘翘。
详细分析也不讲啦，这里推荐一篇证明博客 -> 出门右转
费用流
费用流是基于网络流，只是多了一个费用的条件限制。
算法核心应该就是利用 \(spfa\) 可以处理负权的功能进行最短路。
注意点：
-
流量处理时要注意一定是“照顾弱小”。但是初始值为 \(inf\)。
-
利用链式前向星的特性记录路径
就很妙。
建图总结
其实大家都可以发现，网络流难点在于建图，只要把图建对，走遍天下都不怕。
然而建图都是有规律可循的，所以总结一发。
一、常规建图（又名直接来）
现在一般都不会出现直接建图的情况了。。。
一共有 \(n\) 个飞行员，其中有 \(m\) 个外籍飞行员和 \((n - m)\) 个英国飞行员，外籍飞行员从 \(1\) 到 \(m\) 编号，英国飞行员从 \(m + 1\) 到 \(n\) 编号。 对于给定的外籍飞行员与英国飞行员的配合情况，试设计一个算法找出最佳飞行员配对方案，使皇家空军一次能派出最多的飞机。
\(Solution\):
直接将外籍飞行员和可以配合的英国飞行员连边， 每个外籍向源点，英籍向汇点连容量为1的边，以控制每人只能配对一次。
建图：
for(rt i = 1; i <= m; i ++) add(s,i,1);
for(rt i = m + 1; i <= n; i ++) add(i,t,1);
read(a), read(b);
while(~a && ~b) {
add(a,b,1);
read(a),read(b);
}
某学校要召开一个舞会。已知学校所有 \(n\) 名学生中，有些学生曾经互相跳过舞。当然跳过舞的学生一定是一个男生和一个女生。在这个舞会上，要求被邀请的学生中的任何一对男生和女生互相都不能跳过舞。求这个舞会最多能邀请多少个学生参加。
\(Solution\):
反向思考，题目要求最多邀请人数，其实就是求最小不邀请人数，那么就转化成了求所有相互跳过舞的人中的最小割。
注意，因为题目没有给定男女生的具体情况，所以要先做染色处理，确定男女生，不同性别连向不同端点，跳过舞的一对就直接连边即可。
二、拆点（网络流一大热点）
就不用介绍了吧。
主要是用来控制每个点的使用次数的。
FJ的奶牛们只吃各自喜欢的一些特定的食物和饮料，除此之外的其他食物和饮料一概不吃。某天FJ为奶牛们精心准备了一顿美妙的饭食，但在之前忘记检查奶牛们的菜单，这样显然是不能不能满足所有奶牛的要求。但是FJ又不愿意为此重新来做，所以他还是想让尽可能多的牛吃到他们喜欢的食品和饮料。FJ提供了F （编号为1、2、…、F）种食品并准备了D （编号为1、2、…、D）种饮料， 他的N头牛（编号为1、2、…、N）都已决定了是否愿意吃某种食物和喝某种饮料。FJ想给每一头牛一种食品和一种饮料，使得尽可能多的牛得到喜欢的食物和饮料。每一种食物和饮料只能由一头牛来用。例如如果食物2被一头牛吃掉了，没有别的牛能吃到食物2。
\(Solution\):
传统思路，将食物、牛、饮料按顺序建成网络流，但是因为控制了数量，所以将奶牛割成两个点，前一个点连源点，后一个点连汇点，两个点之间连容量为1的边，就能保证每头牛只消耗一份食物和饮料。
代码戳这里
- 咕
三、分点（自定义）
其实我也不知道这个东东叫啥。
特点：利用题目给定的连边条件，将不同情况的点连向不同端点（感性理解一下）。
第一行给出数字N,M代表行列数.N,M均小于等于100，宝石的价值不会超过10000.下面N行M列用于描述数字矩阵
\(Solution\):
稍微观察就会发现，每个格点与他周围的四个格点的坐标和的奇偶性不同，说明相同奇偶性的格点不会相互排斥，也就是可以同时选。所以将不同奇偶性连向不同端点就好了。
如果坐标和为偶数（因为偶数与汇点相连），从当前点向周围四个点连边，边权为正无穷，意为连接的两个点不能同时选择。
wyc想出一道二分图（最大流），于是他找了女友们
单身多年的wyc终于找到了女朋友，而且一次性找到了\(inf\)个，wyc很喜欢她们里的所有人，但是害怕她们之间互相争斗导致自己后宫着火，wyc又十分喜欢挑战人类极限，想让一片街区有最多的女友可以让他肆意妄为，为了满足他的欲望，他找到了你来请你帮帮他。街区中的一个位置可以看做一个点。由于看上了wyc，wyc的女友们视野变得十分奇怪，她们只能看到目字型的位置，例如：如果她在点（5,5）上，她可以看到（6,8），（8,6）....（共八个）的点，如果wyc的一个女友看到了他的其他女友，那么她就会意识到wyc不仅有一个女友，wyc就会遭到迫害。现在wyc的女友们都在逛gai，已知街区大小为\(n*m\)（棋盘），其中有\(k\)个点没有wyc的女友，请问这条街区上最多可以有多少wyc的女友。
\(Solution\):
做题思维不能太固化，我拿到题就直接用坐标和建边，但是肯定是错的。观察图片，我们发现人所在的位置与她所能看见的位置的横、纵坐标的奇偶性各不相同，所以利用横或纵坐标来建边即可。
四、位置建边
其实就是将二维图转化成一维建图。
-----$ It$ \(will\) \(be\) \(finished\) \(soon\)......-------------
标签：网络,女友,饮料,建图,wyc,飞行员 来源： https://www.cnblogs.com/Spring-Araki/p/14286267.html