摄动

在处理矩阵问题时，可由矩阵可逆向一般情况推广。

例：设A、B都是n阶矩阵，证明|kI-AB|=|kI-BA|。

证明：若A可逆，则\(|kI-AB|=|A^{-1}||kI-AB||A|=|kI-BA|\)

一般地，令f(x)=|kI-(A+xI)B|，g(x)=|kI-B(A+xI)|

由行列式的展开式可知，它们都是x的n多项式，由行列式的定义可知|A+xI|是x的n次多项式，故有无穷多个实数c使得|A+xI|≠0，即A+xI可逆，即有无穷多个实数c使得f(c)=g(c)，因此f(c)=g(c)。当x=0时，有|kI-AB|=|kI-BA|。

标签：xI,BA,摄动,可逆,kI,矩阵,AB
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