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摄动

作者:互联网

在处理矩阵问题时,可由矩阵可逆向一般情况推广。

例:设A、B都是n阶矩阵,证明|kI-AB|=|kI-BA|。

证明:若A可逆,则\(|kI-AB|=|A^{-1}||kI-AB||A|=|kI-BA|\)

一般地,令f(x)=|kI-(A+xI)B|,g(x)=|kI-B(A+xI)|

由行列式的展开式可知,它们都是x的n多项式,由行列式的定义可知|A+xI|是x的n次多项式,故有无穷多个实数c使得|A+xI|≠0,即A+xI可逆,即有无穷多个实数c使得f(c)=g(c),因此f(c)=g(c)。当x=0时,有|kI-AB|=|kI-BA|。

标签:xI,BA,摄动,可逆,kI,矩阵,AB
来源: https://www.cnblogs.com/valar-morghulis/p/14254779.html