【题解】「MtOI2019」手牵手走向明天 [*hard]
作者:互联网
序列分块,每个块维护一个 \(\sqrt{n}\times \sqrt{n}\) 的矩阵表示这个块中颜色与颜色的距离,再维护每个颜色到左右端点的最短距离。
容易发现查询的时候很好查询,问题在于修改操作:要对每一个块进行处理,光是枚举块就要用掉 \(O(\sqrt{n})\) 的时间,那就只能在一个块上留下 \(O(1)\) 的时间来修改了,这似乎很难办。
深入思考一下,假设一个块中最开始有 \(m\) 个颜色,那么修改 \(x\) 为 \(y\) :
- \(x\) 没有:那就不要管了。
- \(y\) 没有,但 \(x\) 有:记录一个颜色的实际值即可,修改的时候只需要修改指针。
- \(x,y\) 都有:对于 \(x,y\) 以外的 \(m-2\) 个颜色,每一个颜色都需要进行 \(O(1)\) 次修改,然后合并 \(x,y\) 的颜色信息也是 \(O(m)\) 的,总时间复杂度是 \(O(m)\) ,并且操作完 \(m\) 减少一。
那么一个块最多产生多少次操作?因为 \(m\) 最大为 \(\sqrt{n}\) ,所以一个块中的操作次数其实是 \(O(n)\) 级别的。所以总操作次数就是 \(O(n\sqrt{n})\) 。
关于操作:
-
区间修改:
-
整块:按照上述方式做。
-
散块:散块的话最大的问题在于关于 \(y\) 的距离怎么修改,因为做的是 \(\min\) ,直接修改似乎不好办。于是你可以考虑到,先用 \(O(\sqrt{n})\) 的代价将这一块的 \(a_i\) 的实际值求出来,然后对于 \(y\) 的相关信息直接求一遍,\(x\) 的相关信息也直接求一遍,这一部分的复杂度是 \(O(\sqrt{n})\) 的。
需要注意的是,因为散块的修改可能增加一个颜色,所以还需要重新分析一下这玩意的复杂度。事实上,首先定义一个 \(total=\sum m^2\leq n\sqrt{n}\) 之内的,然后每次修改的整块其实就是花 \(O(x)\) 的代价将 \(total\) 减去 \(x\) 。散块增加一个颜色最多将 \(total\) 增加上 \(\sqrt{n}\) ,如果考虑最劣的散块情况,那么 \(total\) 大概是 \(O((n+m)\sqrt{n})\) 的。
因此这么做还是对的。
-
-
区间查询:区间内的可以直接查表,不同区间的可以扫过去,记录一下上一个位置(因为我们维护了一个颜色到块两边的距离),常数不大。
关于实现:
- 代码较长,细节多,一般卡常。
- 关于整块修改:可以将 \(x\) 的编号和最大的编号交换,然后操作完后删去 \(x\) 就直接将最大编号减一即可。
- 实现的时候关于并查集我不是按照值域记录 \(rt\) ,而是直接按照编号记录 \(rt\),空间省了但是同时细节很多。
- 散块修改常数巨大,把块大小调小点:\(\sqrt{\frac{2}{5}n}\) ,然后就过去了。
但我的常数还是很大 /ll
cint N=1e5+3;
cint S=2e2+3; // SqrtN
cint T=5e2+3;
int n,m,q,a[N];
// {{{ Data_Struct_Block
int sqrtn,id[N],L[T],R[T];
int dis[T][S][S],disl[T][S],disr[T][S],pot[T][N],rpot[T][S],lim[T];
int rt[T][S],col[N],fa[N];
int find(int x) {return x==fa[x]?fa[x]:fa[x]=find(fa[x]);}
inline void upd_dis(cint &t,cint &_L,cint &_R,cint &y) { // {{{ upd_dis
int tl=-inf; cint &py=pot[t][y]; lep(j,_L,_R) {
if(col[find(j)]==y) tl=j;
chkmin(dis[t][py][pot[t][col[find(j)]]],j-tl);
chkmin(dis[t][pot[t][col[find(j)]]][py],j-tl);
}
tl=inf; rep(j,_R,_L) {
if(col[find(j)]==y) tl=j;
chkmin(dis[t][py][pot[t][col[find(j)]]],tl-j);
chkmin(dis[t][pot[t][col[find(j)]]][py],tl-j);
}
} // }}}
inline void init() { // {{{ init
sqrtn=sqrt(n*2/5);
for(int i=1,c=1,j;i<=n;i=j+1,++c) {
L[c]=i,R[c]=j=min(n,i+sqrtn);
lep(t,L[c],R[c]) id[t]=c;
} m=id[n];
memset(disl,60,sizeof(disl)),memset(disr,-61,sizeof(disr)),memset(dis,60,sizeof(dis));
lep(t,1,m) {
lep(i,L[t],R[t]) {
if(!pot[t][a[i]])
rpot[t][pot[t][a[i]]=++lim[t]]=a[i],col[rt[t][lim[t]]=i]=a[i];
fa[i]=rt[t][pot[t][a[i]]];
}
lep(i,L[t],R[t]) if(fa[i]==i) upd_dis(t,L[t],R[t],a[i]);
rep(i,R[t],L[t]) disl[t][pot[t][a[i]]]=i;
lep(i,L[t],R[t]) disr[t][pot[t][a[i]]]=i;
}
} // }}}
// {{{ query
inline int calc(cint &l,cint &r,cint &x,cint &y) {
int ans=inf,lx=-inf,ly=-inf;
lep(i,l,r) {
if(col[find(i)]==x) lx=i,chkmin(ans,i-ly);
if(col[find(i)]==y) ly=i,chkmin(ans,i-lx);
}
return ans;
}
inline int query(cint &l,cint &r,cint &x,cint &y) {
if(x==y) {
bool flag=false;
if(id[l]==id[r]) lep(i,l,r) flag|=col[find(i)]==x;
else {
lep(i,l,R[id[l]]) flag|=col[find(i)]==x;
lep(i,L[id[r]],r) flag|=col[find(i)]==x;
lep(i,id[l]+1,id[r]-1) flag|=pot[i][x]>0;
}
return -1+flag;
}
if(id[l]==id[r]) return calc(l,r,x,y);
int ans=min(calc(l,R[id[l]],x,y),calc(L[id[r]],r,x,y));
int lx=disr[id[l]][pot[id[l]][x]]; if(lx<l) lx=-inf;
int ly=disr[id[l]][pot[id[l]][y]]; if(ly<l) ly=-inf;
lep(i,id[l]+1,id[r]-1) {
if(pot[i][x]) chkmin(ans,disl[i][pot[i][x]]-ly);
if(pot[i][y]) chkmin(ans,disl[i][pot[i][y]]-lx);
if(pot[i][x]) lx=disr[i][pot[i][x]];
if(pot[i][y]) ly=disr[i][pot[i][y]];
chkmin(ans,dis[i][pot[i][x]][pot[i][y]]);
}
int rx=disl[id[r]][pot[id[r]][x]]; if(rx>r) rx=inf;
int ry=disl[id[r]][pot[id[r]][y]]; if(ry>r) ry=inf;
return min(ans,min(rx-ly,ry-lx));
}
// }}}
// {{{ modify
inline void deleteid(cint &t,int &px) {
cint <=lim[t]; swap(rt[t][px],rt[t][lt]);
lep(i,1,lt) swap(dis[t][px][i],dis[t][lt][i]),swap(dis[t][i][px],dis[t][i][lt]);
swap(disl[t][px],disl[t][lt]),swap(disr[t][px],disr[t][lt]);
swap(rpot[t][px],rpot[t][lt]),swap(pot[t][rpot[t][px]],px),--lim[t];
}
inline void rebuild(cint &t,cint &l,cint &r,cint &x,cint &y) {
int live=0,&px=pot[t][x],&py=pot[t][y]; cint &_L=L[t],&_R=R[t];
lep(i,l,r) live+=col[find(i)]==x; if(!live) return ;
if(!py) {
rpot[t][py=++lim[t]]=y,disl[t][py]=inf,disr[t][py]=-inf;
lep(i,1,lim[t]) dis[t][py][i]=dis[t][i][py]=inf;
}
lep(i,1,lim[t]) dis[t][px][i]=dis[t][i][px]=inf;
lep(i,_L,_R) a[i]=col[find(i)],rt[t][pot[t][a[i]]]=0;
lep(i,l,r) if(a[i]==x) a[i]=y,--live;
lep(i,_L,_R) live+=a[i]==x; if(!live) deleteid(t,px);
lep(i,_L,_R) {
if(!rt[t][pot[t][a[i]]]) col[rt[t][pot[t][a[i]]]=i]=a[i];
fa[i]=rt[t][pot[t][a[i]]];
}
upd_dis(t,_L,_R,y); if(live) upd_dis(t,_L,_R,x);
rep(i,_R,_L) disl[t][pot[t][a[i]]]=i;
lep(i,_L,_R) disr[t][pot[t][a[i]]]=i;
if(!live) px=0;
}
inline void modify(cint &l,cint &r,cint &x,cint &y) {
if(x==y) return ;
if(id[l]==id[r]) return rebuild(id[l],l,r,x,y),void();
rebuild(id[l],l,R[id[l]],x,y);
rebuild(id[r],L[id[r]],r,x,y);
lep(t,id[l]+1,id[r]-1) {
int &px=pot[t][x],&py=pot[t][y];
if(!px) continue;
if(!py) {rpot[t][py=px]=y,px=0,col[rt[t][py]]=y; continue;}
fa[rt[t][px]]=rt[t][py],rt[t][px]=0;
rep(i,lim[t],1) chkmin(dis[t][py][i],dis[t][px][i]),chkmin(dis[t][i][py],dis[t][i][px]);
chkmin(disl[t][py],disl[t][px]),chkmax(disr[t][py],disr[t][px]);
rep(i,lim[t],1) dis[t][px][i]=dis[t][i][px]=inf;
deleteid(t,px),px=0;
}
}
// }}}
// }}}
int op,l,r,x,y;
int main() {
IN(n,q);
lep(i,1,n) IN(a[i]);
init();
lep(i,1,q) {
IN(op,l,r,x,y);
if(op==1) modify(l,r,x,y);
if(op==2) {
int ans=query(l,r,x,y);
printf("%d\n",ans>n?-1:ans);
}
}
return 0;
}
标签:py,题解,px,hard,MtOI2019,id,cint,pot,dis 来源: https://www.cnblogs.com/losermoonlights/p/14254181.html