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等差等比数列综合

作者:互联网

前言

典例剖析

【2021届高三文科月考四用题】 已知 \(\{a_{n}\}\) 是等差数列, \(\{b_{n}\}\) 是各项都为正数的等比数列, \(a_{1}=b_{2}=1\), 再从条件①、②、③这三个条件中选择两个作为已知条件,条件①: \(a_{2}+a_{4}=10\),条件②:\(b_{2}b_{4}=4\), 条件③: \(b_{4}=a_{5}\);

(1). 求数列 \(\{a_{n}\}\) 的通项公式.

(2). 求数列 \(\{b_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和.

解析:选择条件①: \(a_{2}+a_{4}=10\),和条件②:$ b_{2} b_{4}=4$,

(1). 设 \(\{a_{n}\}\) 的公差为 \(d\), 由题意可得 \(a_{1}=1\),\((a_{1}+d)+(a_{1}+3 d)=10\),

解得 \(a_{1}=1\), \(d=2\), 则 \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=2n-1\), \(n\in N^{*}\).

(2). 设 \(\{b_{n}\}\) 的公比为 \(q(q>0)\), 由题意可得 \(b_{2}=1\),\(b_{4}=4\),

则 \(q^{2}=\cfrac{b_{4}}{b_{2}}=4\), 解得 \(q=2\), \(b_{1}=\cfrac{1}{2}\),

所以数列 \(\{b_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(\cfrac{\frac{1}{2}(1-2^{n})}{1-2}=2^{n-1}-\cfrac{1}{2}\).

补充1:若选择条件①: \(a_{2}+a_{4}=10\),条件③: \(b_{4}=a_{5}\);

则 (1).简解得到\(a_1=1\),\(d=2\),则 \(a_n=2n-1\);

(2). 简解得到,\(b_1=\cfrac{1}{3}\),\(q=3\),则 \(S_n=\cfrac{1}{6}(3^n-1)\);

补充2:若选择条件②:\(b_{2}b_{4}=4\),条件③: \(b_{4}=a_{5}\);

则 (1). 由\(b_2=1\)以及\(b_{2}b_{4}=4\),得到\(b_4=4\) 且 \(q=2\),则\(a_5=b_4=4\),

故\(d=\cfrac{a_5-a_1}{5-1}=\cfrac{3}{4}\),则得到 \(a_n=\cfrac{3}{4}n+\cfrac{1}{4}\);

(2). 由 \(q=2\)且\(b_2=1\) ,得到\(b_1=\cfrac{1}{2}\),简解得到 \(S_n=\cfrac{1}{2}(2^n-1)\);

标签:10,等比数列,数列,简解,得到,cfrac,条件,综合
来源: https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/14209819.html