期末知识点复习——概率论与数理统计(5)
作者：互联网
期末复习 第五、六章
第五章
- 大数定理
- 中心极限定理
-
大数定理：对于任意大于0的概率，只要重复独立实验的次数n充分大，几乎是必然发生的。
-
中心极限定理：
- 独立同分布的中心极限定理：均值为 μ \mu μ、方差为 σ 2 > 0 \sigma^2 > 0 σ2>0的独立同分布的随机变量 X i X_i Xi之和，当n足够大的时候近似服从 N ( μ , σ / n ) N(\mu, \sigma/n) N(μ,σ/n)
- 利亚普诺夫定理：无论各个随即变量 X k X_k Xk服从什么分布，只要满足定理的条件，那么当n很大的时候，他们的和近似服从正态分布
- 一个名字很长我不会念的定理：我也看不懂它在说什么
第六章
- 随机样本、箱线图
- 抽样分布
- χ 2 \chi^2 χ2分布
- t t t分布
- F F F分布
- 正态分布总体的样本均值与样本方差的分布
随机样本、箱线图
-
术语
总体：全部可能的取值
个体：每一个可能的取值
容量：总体中个体的数量
简单随机样本：n个服从同一个分布函数的随机变量
样本p分位数：至少有 n p np np个观察值小于等于 x p x_p xp，至少有 n ( 1 − p ) n(1-p) n(1−p)个观察值大于等于 x p x_p xp -
箱线图：由箱子和直线组成的图形，基于：最小值，第一四分位数，中位数，第三四分位数，最大值
中心位置：中位数所在的位置
散布程度：全部数据都在最大值与最小值间，区间较短表示点集中，反之较分散
对称性：看中心位置，在中间称为较为对称，在左边称之为向右倾斜，在右边称之为向左倾斜
抽样分布
在实际应用的时候并不是使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的适当函数
- 术语：
统计量：样本的函数
样本平均值：所有样本相加处以容量： X ‾ = 1 / n ∑ X i \overline{X}=1/n \sum{X_i} X=1/n∑Xi
样本方差： 1 / ( n − 1 ) ∑ ( X i − X ‾ ) 2 = 1 / ( n − 1 ) ( ∑ X i 2 − n X ‾ 2 ) 1/(n-1)\sum(X_i-\overline{X})^2=1/(n-1)(\sum{X_i^2}-n\overline{X}^2) 1/(n−1)∑(Xi−X)2=1/(n−1)(∑Xi2−nX2)
样本标准差：样本方差的平方根
样本k阶矩： A k = 1 / n ∑ X i k A_k = 1/n\sum{X_i^k} Ak=1/n∑Xik
样本k阶中心矩： B k = 1 / n ∑ ( X i k − X ‾ ) B_k=1/n\sum(X_i^k-\overline{X}) Bk=1/n∑(Xik−X)
经验分布函数：与总体分布函数 F ( x ) F(x) F(x)相对应
F n ( x ) = 1 / n ∗ S ( x ) F_n(x)=1/n*S(x) Fn(x)=1/n∗S(x)
其中 S ( x ) S(x) S(x)表示不大于 x x x的随机变量的个数
特殊的统计量分布
χ 2 \chi^2 χ2分布
χ
2
=
∑
n
X
i
2
\chi^2=\sum^n{X_i^2}
χ2=∑nXi2，
X
i
X_i
Xi相互独立且
X
i
∼
N
(
0
,
1
)
X_i\sim N(0, 1)
Xi∼N(0,1)
记作：
χ
2
∼
χ
2
(
n
)
\chi^2\sim\chi^2(n)
χ2∼χ2(n)
称为：服从自由度为n的
χ
2
\chi^2
χ2分布
E
(
χ
2
)
=
n
E(\chi^2)=n
E(χ2)=n
D
(
χ
2
)
=
2
n
D(\chi^2)=2n
D(χ2)=2n
可加性：
X
i
2
+
X
j
2
=
X
i
+
j
2
X_i^2+X_j^2=X_{i+j}^2
Xi2+Xj2=Xi+j2
上
α
\alpha
α分位点：
P
(
χ
2
>
χ
α
2
(
n
)
)
=
∫
χ
α
2
(
n
)
f
(
y
)
d
y
=
α
P(\chi^2>\chi_{\alpha}^2(n))=\int_{\chi_{\alpha}^2(n)}f(y)dy=\alpha
P(χ2>χα2(n))=∫χα2(n)f(y)dy=α
n小于40，查表
n大于40，
χ
α
2
(
n
)
=
1
/
2
(
z
α
+
(
2
n
−
1
)
)
2
\chi_{\alpha}^2(n) = 1/2 (z_{\alpha}+\sqrt(2n-1))^2
χα2(n)=1/2(zα+(
2n−1))2
其中，
z
α
z_{\alpha}
zα为标准正态分布的上
α
\alpha
α分位点
t分布
X
∼
N
(
0
,
1
)
X\sim N(0, 1)
X∼N(0,1)，
Y
∼
χ
2
(
n
)
Y\sim \chi^2(n)
Y∼χ2(n)，二者相互独立，
t
=
X
/
(
Y
/
n
)
t = X/\sqrt(Y/n)
t=X/(
Y/n)
n充分大，近似于
N
(
0
,
1
)
N(0, 1)
N(0,1)
n
>
1
n>1
n>1，
E
(
T
)
=
0
E(T)=0
E(T)=0
n
>
2
n>2
n>2，
D
(
T
)
=
n
/
(
n
−
2
)
D(T)=n/(n-2)
D(T)=n/(n−2)
t
1
−
α
(
n
)
=
−
t
α
(
n
)
t_{1-\alpha}(n)=-t_{\alpha}(n)
t1−α(n)=−tα(n)
上
α
\alpha
α分位点：n小于等于45查表，n大于45，
t
α
(
n
)
=
z
α
t_{\alpha}(n)=z_{\alpha}
tα(n)=zα
F分布
X
∼
χ
2
(
n
i
)
、
Y
∼
χ
2
(
n
2
)
X\sim \chi^2(n_i)、Y\sim \chi^2(n_2)
X∼χ2(ni)、Y∼χ2(n2)，
F
=
(
U
/
n
1
)
/
(
V
/
n
2
)
F=(U/n_1)/(V/n_2)
F=(U/n1)/(V/n2)=>
F
∼
F
(
n
1
,
n
2
)
F\sim F(n_1, n_2)
F∼F(n1,n2)
1
/
F
∼
F
(
n
2
,
n
1
)
1/F\sim F(n_2, n_1)
1/F∼F(n2,n1)
n
>
2
n>2
n>2，
E
(
F
)
=
n
2
/
(
n
2
−
2
)
E(F)=n_2/(n_2-2)
E(F)=n2/(n2−2)
n
>
4
n>4
n>4，
D
(
F
)
=
(
2
n
2
(
n
1
+
n
2
−
2
)
)
/
(
n
2
(
n
2
−
2
)
2
(
n
2
−
4
)
)
D(F)=(2n_2(n_1+n_2-2))/(n_2(n_2-2)^2(n_2-4))
D(F)=(2n2(n1+n2−2))/(n2(n2−2)2(n2−4))
正态分布样本均值和样本方差的分布
X
X
X均值为
μ
\mu
μ、方差为
σ
2
\sigma^2
σ2，
X
‾
\overline{X}
X为样本均值，
S
2
S^2
S2为样本方差
E
(
X
‾
=
μ
E(\overline{X}=\mu
E(X=μ，
D
(
X
‾
)
=
σ
2
/
n
D(\overline{X})=\sigma^2/n
D(X)=σ2/n
E
(
S
2
)
=
σ
2
E(S^2)=\sigma^2
E(S2)=σ2
- X ‾ ∼ N ( μ , σ 2 / n ) \overline{X}\sim N(\mu, \sigma^2/n) X∼N(μ,σ2/n)=> ( X ‾ − μ ) / ( σ / n ) ∼ N ( 0 , 1 ) (\overline{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n})\sim N(0, 1) (X−μ)/(σ/n )∼N(0,1)
- ( n − 1 ) S 2 / σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) (n-1)S^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1) (n−1)S2/σ2∼χ2(n−1)
- S 2 S^2 S2与 X ‾ \overline{X} X独立
- ( X ‾ − μ ) / ( S / n ∼ t ( n − 1 ) (\overline{X}-\mu)/(S/\sqrt{n}\sim t(n-1) (X−μ)/(S/n ∼t(n−1)
- ( S 1 2 / S 2 2 ) / ( σ 1 2 / σ 2 2 ) ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) (S_1^2/S_2^2)/(\sigma_1^2/\sigma_2^2)\sim F(n_1-1, n_2-1) (S12/S22)/(σ12/σ22)∼F(n1−1,n2−1)
- σ 1 2 = σ 2 2 \sigma_1^2=\sigma_2^2 σ12=σ22时，公式太长了自己看课本
标签：知识点,复习,chi,overline,数理统计,alpha,n2,sigma,sim 来源： https://blog.csdn.net/weixin_45206746/article/details/111732352