[SCOI2005]最大子矩阵

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Solution

记得很早以前就看了这道题了，当时不会做就一直没做。后来发现 \(m\leq 2\)，我也是服了。

\(m=1\) 应该相当好做，就是选 \(K\) 段不相交的段，使收益最大。容易想到线段树优化模拟费用流，复杂度 \(O(K\log n)\)。（因为太麻烦了所以写的 dp）

\(m=2\) 的话，同样写 dp，就考虑当前只选第一列、只选第二列或两列一起选三种情况。关键在于如何设计状态。如果用 \(dp[i][0/1/2]\) 来表示当前处理到第 \(i\) 行，转移状态 0~2 的话，转移的时候可能会出现如下的尴尬情形。

这两列有相交的部分，但是它们却属于不同的段。按照上述的状态，是没法转移的，因为当 \(dp[i][0]\) 用 \(dp[j][1]\) 转移，可能覆盖了之前 \(dp[j][1]\) 转移时的 \(dp[l][0]\) 的部分。

这和之前 yl 学长出的一道题很像。大概是有 \(n\) 个任务，每个任务可以由不同的两个人来完成，花费的时间不一样。且如果当前任务完成了或正在完成中才能去完成下一个任务。两个人可以同时在做任务，和这道题的转移很像。类比这道题，用 \(dp[i][j][k]\) 表示第 1 列正在位置 \(i\) ，第二列正在位置 \(j\) ，已经选了 \(k\) 个矩形的最大收益。那么上述转移就可以实现了。

1. 可以直接继承上一轮的状态

\[\max\{dp[i-1][j][k],dp[i][j-1][k]\} \]

2. 选择单独的一列为一个矩形 (其中 \(S\) 是前缀和)。

\[\max\{\max\limits_{0\leq l<i}\{dp[l][j][k-1]+S_{i,1}-S_{l,1}\},\max\limits_{0\leq l<j}\{dp[i][l][k-1]+S_{j,2}-S_{l,2}\}\} \]

3. 或者当 \(i=j\) 时，可以形成一个大矩形。

\[\max\limits_{0\leq l<i}\{dp[l][l][k-1]+(S_{i,1}+S_{i,2})-(S_{l,1}+S_{l,2})\} \]

标签：最大,max,矩阵,leq,这道题,SCOI2005,矩形,转移,dp
来源： https://www.cnblogs.com/wwlwQWQ/p/14190844.html