金融经济学（王江）第四章 套利和资产定价
作者：互联网
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第四章 套利和资产定价
这一章跳过AD经济重新回到第二章所定义的一般均衡框架
上一章，我们研究给定资产价格下，消费者的决策问题，这一章，我们试图通过消费者的决策行为反向推出资产价格。即通过分析三种套利行为，基于无套利原理得到资产的二叉树定价方法（状态价格（贴现）、复制定价法和风险中性定价法）
4.1 给定任意市场结构
4.1.1 什么样的市场结构
事实上，状态或有证券在现实市场中一般是不存在的，所以我们研究一般的市场结构如何影响资产价格。反过来也可以这么想，如果市场是完全的，那么由目前的市场结构一定可以构造出状态或有证券。
4.1.2 冗余证券
任意市场结构中存在冗余证券，即可由其他证券组合复制支付的证券。表现在市场结构中就是与其他证券的支付向量线性相关。
由于冗余证券可由其他证券替代，所以对于定价毫无用处。在没有交易成本的情况下，可以免费由其他证券构造。所以这一章的市场结构中只包含N只线性独立的证券的支付，即列满秩。注意市场不一定是完全的。
4.1.3 复制组合思想
考虑N个线性独立的组合，其中第i列为第i个组合，第i行为每个组合对应的第i个证券的支付，不难理解，若该支付矩阵设为H，则H是非奇异矩阵。
所以 XH 为该组合的支付，那么如果市场结构是该组合的支付，X也可以通过右乘H的逆矩阵构造出来。我们说这两个市场结构是等价的描述。
那么什么是复制组合的思想？基于无套利原理，通过构造一个组合，得到一个与需要定价的证券的未来支付相同的组合。组合可看作一个证券，那么就是使两个证券支付相同，然后根据组合中每个证券的权重求解
4.1.4 AD证券的复制
基于复制组合的思想，我们怎么构造AD证券呢?显然需要假定市场是完全的。即X可逆。
令组合的支付在未来某个状态为1其他状态为0 即w或有证券的支付，Xθ=i，i是一个向量其中一个元素为1其他元素为0. 这样就可以解出在当前市场结构下，如何构造组合使其是AD证券的等价描述。
4.2 套利
由于公司的有限责任，所以股票价格非负（现实中也存在负价格的期货合约 CME原油期货（2020年5月）导致了所谓的原油宝穿仓事件 ，由此可以去看bachelie模型（算数布朗运动、伊藤引理、鞅、伊藤等距、随机微分方程的解法，））
如果一个组合到期有正收益（Xθ-S’θ）>= 0,那么称存在套利机会。该组合是一个套利组合 。我们将套利分为三类：
公式中的小于0何解？ 允许卖空，即有价证券持有量为负。
注： 无套利原理的通俗理解就是通常情况下套利机会存在，但是套利行为或者投机行为会使市场套利机会消失
当然对于套利的分析都是建立在市场没有交易成本的假设条件上的，否则如果套利收益小于交易成本（商品市场），投资者未必会选择交易。
4.3 资产定价基本原理
资产定价原理是指在无套利假定下资产价格为：
求出的算子叫做状态价格向量。在完全市场上状态价格是唯一的，若不完全，无法求出复制w或有证券的组合，也就无法求出该组合的价值，也就是w或有证券的价格。
4.3.1 证明（王江）：
这里先给出王江书上的证明过程：
Step1: 由第二章基本框架可知，在复制组合给定即禀赋给定的条件下，资产价格S是其支付X和消费即投资组合的函数。对于最优化的解，如果我们给定支付矩阵X，那么我们就可以对S求解。所以S=V（X）的函数。（从经济意义更容易理解）
Step2: 根据无套利定价原理，一价定律成立。即x=y那么就有V(x)=V(y),其中x为证券1的支付向量，y为证券2的支付向量。
证明：不存在第一类套利，即Xθ = 0，必须有S’θ>0 对于任意的θ都成立
那么令θ=（1;-1） θ’=（-1;1）;表示列向量
对于θ： x=y****即Xθ=0，S’θ = V(x)-V(y)>=0
对于θ’：x=y即Xθ=0，S’θ = -V(x)+V(y)>=0即V(x)-V(y)<=0
所以由 V(x)=V(y)
Step3:V(x)是x的正的线性函数。
（1）先证明其是递增算子
显然x>0时，V(x)>0 (简单用不存在第二、三类套利即可证明)
Xθ>0 的时候，S’θ>0 或 S’θ<0(二)
Xθ>0的时候，S‘θ>= 0(三)
S’θ>0即V(x)>0
对于x>y 由 V(x)>V(y),显然想到利用上面这条结论x-y>0证明V(x)-V(y)>0
由Step2想到构造（1，-1）这个组合即可。组合的支付大于0，那么组合的成 本V(x)-V(y)>0.
(2)证明V(x)是线性算子
考虑三只证券支付分别为x，y，ax+by 其中a,b为R中的任意常数，即ax+by表示由x，y所复制的任意支付。
不存在第1类套利，即一价定律。构造0支付组合即套利组合（a;b;-1）显然V(θ）=0
即 aV(x)+bV(y)- V(ax+by)=0
Step4: V(x)是正的线性递增算子
所以资产定价公式为：**
4.3.2 证明（徐高）
（1） 依然是无套利定价原理，用到超平面分离定理也叫凸集分离定理
所谓超平面分离定理，学过机器学习SVM（支持向量机）的应该比较好理解，以二维为例，如果我们在二维平面上任意画两个互相分离的凸集，那么一定可以画出一条直线将两个集合分开，使其处于直线两边：
最后一个等式，其实很好想象，想象一条直线，将其系数扩大μ倍，那么原来超平面不变，但是将其上方或者下方的点带入，其值要变化μ倍（右端不再等于0而是等于y）。下面给出手写证明：（具体可以参考徐高老师的教材与课程）
4.4 风险中性定价
将我们的基本框架放在一个风险中性的世界，只是为了计算方便，适用于所有风险偏好的投资者。（定价公式中并不包含波动率）
4.4.1 p测度下的资产定价公式
（1）无风险证券：由前面知识我们知道状态价格是一个贴现因子王江金融经济学二、三章整理
因此我们可以得到无风险证券的价格：
我们知道给定无风险利率有：
这样就建立起状态价格和贴现因子或无风险利率之间的关系：
（2）风险证券
如何将无风险证券定价公式与风险证券定价公式建立联系呢？我们有测度转换
4.4.2 Q测度下的资产定价公式（即风险中性测度）
在风险中性测度Q下新公式不仅适用于风险证券也适用于无风险证券，即不区分证券的风险，所以才叫风险中性测度。
为了表达方便，经常写成期望支付的形式（离散情况下求期望公式）
4.4.3Q测度下的资产定价公式是鞅
注意t的变化，该性质在连续情况下经常用到。这里研究的是离散情况，所谓离散鞅，是来自于公平赌博的一个概念，指的是在拥有所有当前信息和历史信息的条件下，未来时刻的期望收益。通俗理解就是现在如果赌博是公平的，那么未来的期望收益为0。所以鞅是一个公平性概念。（条件期望性质）
区别于马尔可夫性的无后效性（条件概率性质：未来条件概率分布只取决于当前的概率分布，与历史时刻无关）
二者并无相关性.
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