安振平老师的5900号不等式问题的证明

题目:已知$a,b,c>0$,$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$,求证：$\frac{8}{1+ab+bc+ca}-\frac{3}{a+b+c}\leq 1.$

证明:由已知可设$a=\frac{x+y+z}{3x},b=\frac{x+y+z}{3y},c=\frac{x+y+z}{3z}(x,y,z>0)$,则原不等式等价于

$4xyz\sum{x(y-z)^2}+4\sum{y^2z^2(y-z)^2}+\sum{yz(y+z)^2(y-z)^2}+8\sum{yz}\cdot\sum{x^2(y-z)^2}+18xyz\sum{x(x-y)(x-z)}\geq 0.$                   (1)

由舒尔不等式可知不等式(1)成立,故原不等式获证.

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