Codeforces Round #692 Div1

D、F、E（高斯消元的解法）待更

A

首先忽略初始在对角线上的点
答案的下界显然为现在的点数

考虑对于对角线\((i,i)\)，在第\(i\)行出现的与在第\(i\)列出现的点连边
容易得到答案的下界为：点数+环的个数

容易证明

B

结论：最后填数一定是某个前缀填\(0\)，剩下的填\(1\)，或前缀填\(1\)，剩下的填\(0\)

证明：
考虑两个位置\(0,1\)，交换后发现01与10的数量不变

C

结论：当\(n\ge 2\)，\(n-1\)最后的符号一定是\(-\)，\(n\)最后的符号一定是\(+\)，其他位置符号任意

证明：
对于----+???-+这种情况，显然左边的-是可以全部实现的
于是我们考虑+????-+是否能被构造出来
我们找到最靠右的一个-，使得前面为+（-可以是\(n-1\)）
考虑+????+---+，看成两段(+????+-)(--+)
由于左边要取反使得上我们要构造(取反)(不取反)这两段
发现这两段最后两个元素均为-+，通过归纳可以证明结论

然后题目转化成了给一些二的次幂前填+/-的系数，问能否凑出\(N\)
可以考虑从大到小考虑二的次幂，让\(N\)的绝对值最小

正确性：
若\(|x|\le |y|\)，如果\(y\)可行，可以通过调整法证明\(x\)也可行

E

令\(c_i\)为sg值等于\(i\)的点个数，用异或卷积定义乘法
显然答案为：

\[\frac{1}{n+1}\sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{c^k}{(n+1)^k}=\frac{1}{n+1}\cdot \frac{1}{1-c/(n+1)} \]

标签：692,两段,frac,Codeforces,-+,取反,考虑,证明,Div1
来源： https://www.cnblogs.com/Grice/p/14170116.html