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【转载】凸优化第二章凸集 2.1 仿射集合和凸集

作者:互联网

第二章凸集

主要内容:

  1. 仿射集合和凸集
  2. 重要例子
  3. 保凸运算
  4. 广义不等式
  5. 分离和支撑超平面
  6. 对偶锥与广义不等式

2.1仿射集合和凸集

仿射集合

仿射集合:集合C\subseteq R^n中任意两个不同点的直线仍然在集合C中,那么称集合C是仿射集合。

\forall x_{1},x_{2}\in C,\forall\theta \in R,\theta x_{1}+(1-\theta)x_{2} \in C

仿射

如上图,对于x_{1}\, x_{2},取不同的\theta可以得到不同的点,这些点构成了经过x_{1}\, x_{2}的直线。

如果将两个点扩展到多个点,引出仿射组合的概念,首先\theta_{1}+\theta_{2}+\cdots +\theta_{k}=1,则具有\theta_{1}*x_{1}+\theta_{2}*x_{2}+\cdots +\theta_{k}*x_{k}的形式的点为x_{1},x_{2},\cdots x_{k}的仿射组合。

仿射集合的例子:C= \left \{ x| Ax=b\right \}显然

\forall x_{1},x_{2}\in C,\forall \theta \in R, x = \theta x_{1}+(1-\theta)x_{2} Ax= A(\theta x_{1}+(1-\theta) x_{2})=\theta Ax_{1}+(1-\theta) Ax_{2}=\theta b+ (1-\theta)b= b

仿射包:集合C中的点的所有仿射组合组成的集合为C的仿射包。

凸集

凸集可以理解成一种特殊的仿射集合,凸集的数学定义:

\forall x_{1},x_{2}\in C,\forall \theta \in \left [ 0,1 \right ],\theta x_{1}+(1-\theta)x_{2} \in C

可以看出相比于仿射,凸集就是对\theta有取值范围的约束。几何上来看,仿射是经过两个点的直线在集合C中,而凸集则是连接两个点的线段在集合C中。

如上图,a是凸集,b和c均不是凸集。

凸组合:首先\theta_{1}+\theta_{2}+\cdots +\theta_{k}=1,且\theta _{i}\geq 0,i=1\cdots k,则具有\theta_{1}*x_{1}+\theta_{2}*x_{2}+\cdots +\theta_{k}*x_{k}的形式的点为x_{1},x_{2},\cdots x_{k}的凸组合。

凸包:集合C中所有点的凸组合的集合G为集合C的凸包。如下图,阴影部分即为包含十五个点的集合C的凸包。

凸包

锥:\forall x\in C,\forall \theta\geq 0,\theta x\in C,这样的集合是锥,或非负齐次。

凸的锥,则为凸锥,即满足\forall x_{1},x_{2} \in C, \forall \theta_{1},\theta_{2}\geqslant 0,\theta_{1}x_{1}+\theta_{2}x_{2}\in C,如下图为一个凸锥。

凸锥

锥组合:\theta _{i}\geq 0, i=1\cdots k,具有\theta_{1}*x_{1}+\theta_{2}*x_{2}+\cdots +\theta_{k}*x_{k}的形式的点为x_{1},x_{2},\cdots x_{k}的锥组合。

如果每个x_{i}都属于集合C,那么x_{i}的每一个锥组合也在C中。

C是凸锥的充分必要条件是它包含其元素的所有锥组合。

锥包:集合C中的元素的所有锥组合的集合是集合C的锥包。

 

来源:https://blog.csdn.net/wangchy29/article/details/86484439

标签:组合,凸集,凸包,集合,如上图,2.1,仿射
来源: https://blog.csdn.net/hyl1181/article/details/111301255