几何代数59 ----平面二次曲线的分类

学习李建平教授空间解析几何的分享笔记。

目录

• 几何代数59 ----平面二次曲线的分类
  • 1、消去二次交叉项 ——利用线性代数知识
    • 作适当的转轴变换可以消去平面二次曲线方程中的二次交叉项
    • 矩阵的特征值与特征向量
    • 二次曲线 方程中 的一次项和常数项的变化
    • 例1
  • 2、平面二次曲线的分类
    • 小结：平面二次曲线的种类（恰好3类9种）
    • 例2
  • 3、平面二次曲线的不变量
  • 一些记号
    • 利用不变量确定平面二次曲线的类型和形状
    • 例3
  • 参考资料

平面二次曲线方程

\[F(x,y)= a_{11}x^2+2a_{12}xy +a_{22}y^2 + 2a_{1}x + 2a_{2}y +a_0= 0. \]

回顾：通过平面直角坐标变换，可化简平面二次曲线方程， 从而快速判定曲线的图形 .

问题1：平面二次曲线的图形有哪几种 ？

问题2：什么是平面二次曲线在坐标变换下的不变量？ 如何根据不变量来判定曲线的图形 ？

1、消去二次交叉项 ——利用线性代数知识

回顾：

作适当的转轴变换可以消去平面二次曲线方程中的二次交叉项

平面二次曲线方程：

\[F(x,y)= a_{11}x^2+2a_{12}xy +a_{22}y^2 + 2a_{1}x + 2a_{2}y +a_0= 0. \]

$ G(x,y) = \mathbf{x }^TA \mathbf{x },\mathbf{x }= \binom{x}{y},\color{blue}{A=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}\ a_{21}& a_{22}\end{bmatrix}}$$, \mathbf{b }=\binom{2a_1}{2a_2},c=a_0 $

$F(x,y)=\mathbf{x }^TA \mathbf{x }+\mathbf{b }^T \mathbf{x }+c $

消去二次交叉项:

$\Large\color{orange}{转轴变换：} $$\begin{cases} x= x' cos\theta -y'sin \theta \ y= x' sin\theta +y'cos\theta \end{cases} $, \(\Rightarrow\) $\bbox[pink]{\binom{x}{y}=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta\ sin\theta& cos\theta \end{bmatrix}\binom{x'}{y'} } $

\(\Large\color{orange}{转轴矩阵：}\)\(R =\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta& cos\theta \end{bmatrix} ,\)$ \large\mathbf{x }'=\binom{x'}{y'} $

$

标签：11,begin,end,22,二次曲线,----,vmatrix,frac,59
来源： https://www.cnblogs.com/liangjiangjun/p/14137544.html